dwa okręgi

blanco18 · Post autor: **blanco18** » 23 kwie 2009, o 17:03

Dwa okręgi, każdy o promieniu 8, są styczne zewnętrznie. Ze środka jednego z nich
poprowadzono styczne do drugiego okręgu. Oblicz pole zacieniowanej figury (patrz rysunek).

zadanie jest proste, gdy wykarzemy że kąt w trójkącie ( pkt przecięcia się okręgu z styczną(c), śodki 2 okręgów(A,B)) wynosi poza 90, 60 stopni(kąt ABC). Jak to zrobić?

wilk · Post autor: **wilk** » 23 kwie 2009, o 18:13

punkty styczności stycznych z okręgiem o środku w punkcie B nazywam przez C i D
obliczam z tw Pitagorasa dł AC i AD
następnie liczę długość wysokości opuszczonej z wierzchołków C i D na odcinek AB obliczam to wykorzystując pole które mogę policzyć i dł odcinka Ab która jest równa 16
potem liczę pole czworokąta ACBD z wykorzystaniem przekątnych ( iloczyn przekątnych przez dwa razy sinus kąta zawartego między nimi (90 stopni) ) potem za pomocą twierdzenia kosinusów obliczam kąt CBD
i znając jego miarę obliczam pole wycinka koła. następnie odejmuje je od pola czworokąta które wcześniej obliczyłem i mam wynik .
chyba nie jest to najprostsza droga ale mam nadzieję że poprawna i w miarę klarownie wyjaśniłem ...

blanco18 · Post autor: **blanco18** » 23 kwie 2009, o 21:33

No tak, ale jeśli wykażemy, że to jest trójkąt o kątach 30 i 60 to zadanie jest banalne, pytanie tylko jak;]

wilk · Post autor: **wilk** » 24 kwie 2009, o 16:36

jeśli mówisz o trójkącie o wierzchołkach AB i w punkcie styczności ( C )
no to w miarę banalne gdyż sokoro znamy ich booki i wiemy że jest to trójkąt prostokątny to wystarczy wziąć arc sin odpowiednich dwóch boków i sprawdzić czy się zgadza z wartością kąta 30 lub 60 stopni ...

angel-of-fate · Post autor: **angel-of-fate** » 24 kwie 2009, o 16:49

niewiem jak to matematycznie udowodnic ale wiem ocb
te katy maja takie miary gdyz oba koła sa przystajace
styczna zawsze jest po katem 90
gdyby przesunac wierzchołek kata w pkt A na jakis punkt obeczy okrągu okazaloby sie ze jest ta kat wpisany oparty na tym samym łuku co środkowy (ten przed przesunieciem) promienie sa rowne i dlatego w wyobrazni mozemy takjakby przesunac to -ale to w wyobrazni nie mam na to oliczen x+2x=90 x=30 2x=60

kaszubki · Post autor: **kaszubki** » 24 kwie 2009, o 16:54

Ojejku, mi się najbardziej podoba ten pomysł z arcus sinusem
Przecież jeżeli poprowadzimy promień okręgu (tego na prawo) prostopadłego do stycznej, to trójkąt o wierzchołkach w środkach kół i punkcie styczności jest prostokątny i ma kąty 30, 60 i 90 stopni, gdyż przeciwprostokątna jest dwa razy dłuższa od jednej z przyprostokątnych i ma 16 cm.