Dziwna figura w kwadracie

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
etkrol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 22 kwie 2009, o 19:10
Płeć: Mężczyzna

Dziwna figura w kwadracie

Post autor: etkrol »

Jest kwadrat o jakimś boku "a". Obliczyć pole zacieniowanej figury. Każda krzywa jest oczywiście 1/4 okręgu o promieniu "a".


Ktoś umie to zrobić? Ja odpadłem.
wasu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 8 sty 2007, o 18:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: otmuchów
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 7 razy

Dziwna figura w kwadracie

Post autor: wasu »

\(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)?? mi sie wydaje ze\(\displaystyle{ \frac{1}{12}}\)
Potekk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 2 gru 2007, o 12:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Piastów
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 35 razy

Dziwna figura w kwadracie

Post autor: Potekk »



niech: P,R,S - pola figur
widać, że pole całego kwadratu to jest \(\displaystyle{ S+4P+4R}\) a to równa się \(\displaystyle{ a^2}\)
Pole \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) koła to \(\displaystyle{ \frac{a^2 \pi}{4}= S+3P+2R}\)
więc \(\displaystyle{ P+2R = a^2 - \frac{a^2 \pi}{4}}\)

pole niebieskiego pola wynosi \(\displaystyle{ \frac{120}{360}a^2 \pi - \frac{sin120}{2} a^2=a^2 ( \frac{1}{3}\pi- \frac{ \sqrt{3} }{4} )}\)
Jak się dobrze przyjrzysz niebieskie pole (odcinek koła) to połowa części wspólnej tych dwóch kół a to z kolei jest \(\displaystyle{ S+2P+R}\).
\(\displaystyle{ S=4(S+2P+R) + 4(P+2R) - 3(S+4P+4R)}\)
po obliczeniach
\(\displaystyle{ S=a^2 ( \frac{\pi}{3}+1- \sqrt{3} )}\)

P.S mogłem gdzieś się rąbnąć to spr dokładnie
ODPOWIEDZ