Długości boków prostokąta

ariel12345 · Post autor: **ariel12345** » 22 kwie 2009, o 08:42

Mam następujące zadanie:
Obwód prostokąta ma 96cm. Dwusieczna jednego z kątów dzieli dłuższy bok tego prostokąta w stosunku 2:3. Oblicz długości boków tego prostokąta.

kolanko · Post autor: **kolanko** » 22 kwie 2009, o 10:09

Zauwaz ze dwusieczna dzieli ten prostokąt na trójkąt równoramienny o kątach 45st. teraz bok trójkąta to krótszy bok prostokąta. dodacwszystki boki i przyrównac do 96.

ariel12345 · Post autor: **ariel12345** » 22 kwie 2009, o 10:28

Niestety, nic konstruktywnego mi z tego nie wyszło. Czy mogłabym prosić o rozpisanie?

agulka1987 · Post autor: **agulka1987** » 22 kwie 2009, o 10:57

przeczytaj uwaznie co napisał kolanko,

poprowadzona dwusieczna podzieliła prostokąt na dwie figury: trójkat prostokatny równoramienny i trapez prostokatny. W tym przypadku interesuje nas tylko trójkat.

Dwusieczna dzieli dłuższy bok "a"w stosunku 2:3. czyli maja one długości \(\displaystyle{ \frac{1}{3}a \ i \ \frac{2}{3}a}\)

Ponieważ powstały trójkat jest równoramienny tak wiec krótszy bok \(\displaystyle{ b=\frac{1}{3}a}\)

\(\displaystyle{ O=2a+2b}\)

\(\displaystyle{ 96 = 2a + 2 \cdot \frac{1}{3}a}\)
\(\displaystyle{ \frac{8}{3}a = 96}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{3}{8} \cdot 96 = 36}\)

\(\displaystyle{ b= \frac{1}{3}a = 12}\)

ariel12345 · Post autor: **ariel12345** » 22 kwie 2009, o 11:58

Czytałam uważnie - po to przecież o to pytałam, ale widocznie do mnie trzeba krok po kroku - inaczej nie zrozumiem. Niemniej dziękuję Wam za pomoc. Mam jeszcze jedno pytanie: z odpowiedzi wynika, że może być jeszcze jeden przypadek mianowicie \(\displaystyle{ 34 \frac{2}{7}cm i 13 \frac{5}{7}cm}\). Jak to obliczyć?

agulka1987 · Post autor: **agulka1987** » 22 kwie 2009, o 12:11

dwusieczna dzieli kat na dwa równe katy -\(\displaystyle{ 45^{o}}\) oraz dłuższy bok w stosunku 2:3 - \(\displaystyle{ \frac{2}{5}a \ i \ \frac{3}{5}a}\)

\(\displaystyle{ tg 45^{o} = \frac{ \frac{2}{5} a}{b}}\)
\(\displaystyle{ 1 = \frac{ \frac{2}{5} a}{b}}\)
\(\displaystyle{ b=\frac{2}{5} a}\)

\(\displaystyle{ O=2a+2b}\)

\(\displaystyle{ 96 = 2a + 2 \cdot \frac{2}{5} a}\)

\(\displaystyle{ \frac{14}{5}a = 96}\)

\(\displaystyle{ a = \frac{480}{14} = 34 \frac{2}{7}}\)

\(\displaystyle{ b = \frac{2}{5} a = \frac{2}{5} \cdot \frac{480}{14} = \frac{96}{7} = 13 \frac{5}{7}}\)

Post autor: **Dasio11** » 22 kwie 2009, o 12:35

Zauważcie, że to zadanie ma 2 rozwiązania - w zależności od tego, dwusieczna KTÓREGO kąta będzie dzieliła dłuższy bok w stosunku 2:3, taki będzie stosunek jednego boku do drugiego. W jednym przypadku \(\displaystyle{ b=\frac{2}{2+3} a=\frac {2}{5} a}\), tak jak napisała Agulka1987, a w drugim \(\displaystyle{ b=\frac{3}{2+3} a=\frac{3}{5} a}\) i przez analogię jej sposobu dochodzimy do ładniejszego rozwiązania z liczbami całkowitymi, czyli \(\displaystyle{ a=30}\); \(\displaystyle{ b=18}\).