W trójkącie prostokątnym stosunek sumy długości przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej jest równy \(\displaystyle{ \frac{17}{13}}\). Oblicz stosunek pól koła opisanego i koła wpisanego w ten trójkąt
Stosunek pól koła opisanego i koła wpisanego
-
agulka1987
- Użytkownik
- Posty: 3090
- Rejestracja: 24 paź 2008, o 15:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 879 razy
Stosunek pól koła opisanego i koła wpisanego
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{c}= \frac{17}{13}}\)
\(\displaystyle{ a+b= \frac{17}{13}c}\)
\(\displaystyle{ c= \frac{13}{17}(a+b)}\)
Pole okregu -\(\displaystyle{ P=\pi \cdot r^2}\)
promień okręgu opisanego - \(\displaystyle{ R= \frac{1}{2}c}\)
\(\displaystyle{ R= \frac{1}{2} \cdot \frac{13}{17}(a+b) = \frac{13}{34}(a+b)}\)
promień okregu wpisanego - \(\displaystyle{ r= \frac{1}{2}(a+b-c)}\)
\(\displaystyle{ r= \frac{1}{2}(a+b -\frac{13}{17}(a+b)) = \frac{1}{2}( \frac{4}{17}(a+b)) = \frac{2}{17}(a+b)}\)
\(\displaystyle{ P_{opisanego} = \pi \cdot (\frac{13}{34}(a+b))^2 = \frac{169}{1156} \cdot \pi \cdot (a+b)^2}\)
\(\displaystyle{ P_{wpisanego} = \pi \cdot (\frac{2}{17}(a+b))^2 = \frac{4}{289} \cdot \pi \cdot (a+b)^2}\)
stosunek pól okregów \(\displaystyle{ 169:16}\)
\(\displaystyle{ \frac{P_{opisanego}}{P_{wpisanego}} = \frac{\frac{169}{1156} \cdot \pi \cdot (a+b)^2}{\frac{4}{289} \cdot \pi \cdot (a+b)^2} = \frac{ \frac{169}{1156} }{ \frac{4}{289} } = \frac{169}{1156} \cdot \frac{289}{4} = \frac{169}{16}}\)
\(\displaystyle{ a+b= \frac{17}{13}c}\)
\(\displaystyle{ c= \frac{13}{17}(a+b)}\)
Pole okregu -\(\displaystyle{ P=\pi \cdot r^2}\)
promień okręgu opisanego - \(\displaystyle{ R= \frac{1}{2}c}\)
\(\displaystyle{ R= \frac{1}{2} \cdot \frac{13}{17}(a+b) = \frac{13}{34}(a+b)}\)
promień okregu wpisanego - \(\displaystyle{ r= \frac{1}{2}(a+b-c)}\)
\(\displaystyle{ r= \frac{1}{2}(a+b -\frac{13}{17}(a+b)) = \frac{1}{2}( \frac{4}{17}(a+b)) = \frac{2}{17}(a+b)}\)
\(\displaystyle{ P_{opisanego} = \pi \cdot (\frac{13}{34}(a+b))^2 = \frac{169}{1156} \cdot \pi \cdot (a+b)^2}\)
\(\displaystyle{ P_{wpisanego} = \pi \cdot (\frac{2}{17}(a+b))^2 = \frac{4}{289} \cdot \pi \cdot (a+b)^2}\)
stosunek pól okregów \(\displaystyle{ 169:16}\)
\(\displaystyle{ \frac{P_{opisanego}}{P_{wpisanego}} = \frac{\frac{169}{1156} \cdot \pi \cdot (a+b)^2}{\frac{4}{289} \cdot \pi \cdot (a+b)^2} = \frac{ \frac{169}{1156} }{ \frac{4}{289} } = \frac{169}{1156} \cdot \frac{289}{4} = \frac{169}{16}}\)