Wyznacz stosunek pól powierzchni figur

[hyhy:)]

W trapezie ABCD (AB || CD) (|CD|

[W_Zygmunt]

Mamay obliczyć stosunek pola czworokąta ACDE do pola trójkąta ABE.

Wprowadzmy punkty G i H jako rzuty prostokątne punktów odpowiednio D i E na prostą AB , oraz F rzut B na DC. Oznaczmy AB=a , CD=b, GD=BF=h, HE=h1 oraz kat ABC = beta.

Pole trójkąta ABE = 0.5*a*h1
Pole czworokąta ACDE = pole trójkąta ABD - pole trójkąta ABE + pole trójkąta BCD.

Zauważmy że kąt BCF = kat ABC =beta (kąty naprzemianległe wewnętrzne),
a kąt ADG = kątowi ABE = beta/2 (jako kąty o ramionach wzajemnie prostopadłych), oraz h = 3/2 * h1. (tw. Talesa)
Z trójk.ABE wyliczamy EH = h1,
zZ trójk.AGD wyliczamy AG ,z trójk.BCF wyliczamy CF ,
b = CD = AB-AG-FC.
Mamy wszystkie wielkośi potrzebne do obliczenia pól a co zatem do rozwiązania zadania.
Mnie wyszło [(7-9(cos(2*beta)/cos(beta))]/8 Ciekawe czy się pomyliłem?

[magik100]

Ja to sobie policzyłem i mi wyszło że ten stosunek to 8/7 (trójkąt/czworokąt). Nie podam pełnego zapisu rozwiązania bo nie pamiętam, ale trzeba skorzystać z tego, że :


Jak przedłużysz oba ramiona trapezu to sie przetną w takim pukcie, że utworzą razem z jedną z podstaw trójkąt równoramienny. (Te "równeramiona" to ramiona kąta, z którego wychodzi dwusieczna z założeń zadania). No i jeśli do tego momentu sie to zgadza z zasadami geometrii, to dalej już jestem pewien że mam dobrze: Otóż z twierdzenia talesa wyliczamy że a=4b ('a' to I podstawa, 'b'-II podstawa), bo przecież wspomniana wyżej dwusieczna dzieli podstawę wspomnianego wyżej trójkąta na 2 połowy, a wiemy z założen, że ramie trapezu dzieli 2:1), w dodatku trójkąt o podstawie będącej mniejszą podstawą trapezu jest przystający do trójkąta o podstawie będącej 2.podstawą trapezu (mam nadzieje, że sie nikt nie pogubił - oba te trójkąty zostały utworzone po przedłużeniu ramion trapezu). Więc ich wysokości, tak jak i podstawy są h_1=4*h_2. Dwusieczna kąta (ta z założen) dzieli duży trójkąt (ten utworzony) na 2 identyczne prostokątne o wysokości h_1/2. Podsumowując:

P1 Pole małego trójkącika = b*h_2/2
P2 Pole największego trójkąta = 4b*4h_2/2

P3 Pole trójkąta z założeń = 4b*2h_2/2 = 8bh/2
P4 Pole czworokąta, tego z założeń = 4b*2h_2/2 - b*h_2/2 = 7bh/2

Wiec stosunek pól, który mieliśmy policzyć to P4/P3 =
7bh/2 / 8bh/2 = 7/8

Jeśli macie wątpliwości co do rozwiązania, to zerknijcie na moją rysunkową wizytówke pod loginem )))) Ale mam nadzieje, że to jest dobry wynik.

[hyhy:)]

bankowo to bedzie cos takiego jak podal magik100

[magik100]

Ooooo, coś mi wyszło!!! Te słowa uznania wiele dla mnie znaczą, zacny sir Hyhy:)

[W_Zygmunt]

EB/AB = cos(beta/2) => EB = a*cos(beta/2)
EH/EB = sin(beta/2) =>
h1=EH = a*sin(beta/2)*cos(beta/2) = 0.5*a*sin(beta)

h = 3/2 * h1 = 3/2*a*sin(beta/2)*cos(beta/2) = 3/4 *a*sin(beta)

AG/DG = tan(beta/2) => AG = h*tan(beta/2) = 3/2 *a*sin(beta/2)*cos(beta/2)*tan(beta/2) =
= 3/2 *a*sin^2(beta/2)=3/4 * a*(1-cos(beta))

CF/BF = ctg(beta) => CF = h*ctg(beta) = 3/4 *a*sin(beta)*ctg(beta) = 3/4 *a*cos(beta)

b = CD = AB-AG-CF = a - 3/4 * a*(1-cos(beta)) - 3/4 *a*cos(beta) =
=a*(1- 3/4 + 3/4*cos(beta) -3/4*cos(beta)) =1/4*a
Pole trójkąta ABE = 0.5*a*h1 = 0.5 *a*0.5*a*sin(beta) =
= 1/4*a^2*sin(beta)
Pole czworokąta ACDE = 1/2*a*h - 1/2*a*h1+ 1/2*b*h =
= 1/2*a*3/4 *a*sin(beta) - 1/2*a*1/2*a*sin(beta) + 1/2* 1/4*a*3/4 *a*sin(beta) =
=a^2*sin(beta)*(3/8-1/4+3/32) = a^2*sin(beta)*(12/32-8/32+3/32) =7/32*a^2*sin(beta)

[7/32*a^2*sin(beta) ] /[1/4*a^2*sin(beta)] = 7/ 8

Jak widać wynik można otrzymać i tym sposobem. Oczywiście rozwiązanie podane przez "Magik100" jest prostrze i bardziej eleganckie.