Udowodnienie pewnego ?twierdzenia?

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Kapu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 20 kwie 2009, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ...
Podziękował: 1 raz

Udowodnienie pewnego ?twierdzenia?

Post autor: Kapu »

Mam problem z udowodnieniem pewnej rzeczy, otóż:

W czworokącie dobieramy dowolny punkt, nazwijmy go A. Tworzymy odcinki łączące punkt A z wierzchołkami czworokąta. Powstają 4 trójkąty. Dla każdego trójkąta znajdujemy środek ciężkości i łączymy je. Powstała figura to równoległobok, którego odpowiednie boki są równoległe do odpowiednich przekątnych i są od nich 3 razy mniejsze. Jak to udowodnić?
Potekk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 2 gru 2007, o 12:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Piastów
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 35 razy

Udowodnienie pewnego ?twierdzenia?

Post autor: Potekk »

|
gdybyś jeszcze miał jakieś problemy to pisz
Kapu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 20 kwie 2009, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ...
Podziękował: 1 raz

Udowodnienie pewnego ?twierdzenia?

Post autor: Kapu »

Nie za bardzo tylko mogę wymyślić, dlaczego ten odcinek miałby być 3x mniejszy i równoległy do tamtej przekątnej... Mógłbyś to jeszcze jakoś opisać?
Potekk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 2 gru 2007, o 12:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Piastów
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 35 razy

Udowodnienie pewnego ?twierdzenia?

Post autor: Potekk »


środek ciężkości leży w punkcie przecięcia się środkowych trójkąta, które przecinają się w stosunku 2:1

\(\displaystyle{ \vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CD}+ \vec{DB} = \frac{2}{3}\vec{AE} + \frac{2}{3}\vec{EB} + \vec{CD}=\frac{2}{3}(\vec{AE}+\vec{EB}) + \vec{CD} = \frac{2}{3}\vec{AB}+ \vec{CD} \\
\frac{1}{3} \vec{AB} = \vec{CD}}\)

zatem CD jest 3 razy mniejszy od AB i do niego równoległy. Analogicznie robisz dla pozostałych trójkątów.
Kapu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 20 kwie 2009, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ...
Podziękował: 1 raz

Udowodnienie pewnego ?twierdzenia?

Post autor: Kapu »

Wielkie dzięki Nie pomyślałem, żeby udowodnić to za pomocą wektorów. Wymyśliłem za to coś na podstawie twierdzenia Talesa:

ODPOWIEDZ