dowód na pole koła/okręgu

[marti_na]

witam,mam za zadanie rozpisać dowód na pole,obwód koła/okręgu,lecz problem w tym,że nie wiem jak się do tego zabrać.Za pomocą całek wiem jak dokonać tego dowodu,ale jak go napisać w prosty sposób,aby zrozumiało go dziecko w gimnazjum czy liceum?za wszelkie udzielone informacje dziekuje serdecznie,pozdrawiam.

[klaustrofob]

hmm... w dzisiejszym sensie to nie jest dowód, ale tak rodził się rachunek różniczkowy: dzielimy koło na n wycinków o takim samy kącie środkowym 360/n. pole wycinka to w przybliżeniu - tym lepszym, im większe n - pole deltoidu o przekątnych r oraz "cięciwa odpowiedniego łuku", czyli 1/2*r*l, gdzie l jest dł. tej cięciwy. sumując pola wszystkich wycinków mamy \(\displaystyle{ pole\ kola \approx \frac{1}{2}r\cdot n \cdot l}\), gdzie n to liczba wycinków - przybliżenie tym lepsze, im n większe. ale \(\displaystyle{ n\cdot l \approx 2\pi r}\) skąd wynika teza. nietrudno zresztą zrobić z tego metodę wyczerpywania, stosowaną przez Archimedesa.

z długością okręgu jest inaczej - tu trzeba po prostu uzasadnić, że stosunek obwodu koła do średnicy jest stały, niezależny od tej średnicy - znów nie da się tego zrobić bez jakiegoś przejścia granicznego, ale "błogosławieni, którzy nie widzieli, a uwierzyli" - może da się ich oszukać. jeżeli w to uwierzą, to nie ma problemu: ten właśnie stosunek oznacza się symbolem \(\displaystyle{ \pi}\). czyli \(\displaystyle{ obw = \pi \cdot d}\)

[Nakahed90]

Pole koła równa się czterokrotnemu polu jednej ćwiartki
\(\displaystyle{ P_{k}=4P_{cw}}\)

Ćwiartkę tę dzielimy na n-tą ilość trójkątów równoramiennych o boku r i kącie przy wierzchołku \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2n}}\)
\(\displaystyle{ P_{cw}= nP_{t}}\)
Pole jednego trójkąta wyraża się wzorem
\(\displaystyle{ P_{t}=\frac{r^{2}}{2}sin\frac{\pi}{2n}}\)
Więc wzór na pole koła wyrażą się wzorem:
\(\displaystyle{ P_{k}= 4 \lim_{ n \to +\infty }\frac{nr^{2}}{2}sin\frac{\pi}{2n}=..=\pi r^{2}}\)