2 gim. - zastosowanie twierdzenia Pitagorasa

agatka2602 · Post autor: **agatka2602** » 17 kwie 2009, o 20:59

zad.1 Przekątna kwadratu jest o 2 cm dłuższa od jego boku. Jaki obwód ma ten kwadrat?
zad.2 Przekątne trapezu równoramiennego dzielą kąty przy dłuższej podstawie na połowy i przecinają się pod kątem 120(stopni). Dłuższa podstawa ma 12 cm. Oblicz obwód tego trapezu.
zad.3 O ile zwiększy się długość przekątnej kwadratu, jeśli bok kwadratu zwiększymy o 2?
zad.4 O ile zwiększy się wysokość trójkąta równobocznego, jeśli bok trójkąta zwiększymy o 2?

Proszę o pomoc! Dostałam pałę z pracy klasowej, gdzie były tego typu zadania.. tzn. słyszałam, że były też maturalne. ;/ i po prostu chciałabym się dowiedzieć na poprawę jak się je liczy. Proszę baaardzo jeszcze raz i proszę też, żeby sposoby ich obliczania były "proste", tzn. na poziomie 2 gim. i wyjaśnione, dlaczego tak, a nie inaczej. Próbowałam robić te zadania, ale miałam je źle wyliczone. Wyniki nie zgadzały się z odpowiedziami.

PROSZĘĘĘĘĘĘĘĘĘĘĘĘĘĘ!!!
i z góry dziękuję za pomoc.

Gotta · Post autor: **Gotta** » 17 kwie 2009, o 21:21

Zadanie 1
d - przekątna
a - bok
\(\displaystyle{ d=a+2}\)
z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że \(\displaystyle{ a^2+a^2=d^2}\), czyli \(\displaystyle{ 2a^2=(a+2)^2}\). Rozwiązujemy równanie kwadratowe. \(\displaystyle{ \Delta=32=(4\sqrt{2})^2}\), \(\displaystyle{ a_1=2-2\sqrt{2}<0}\), więc odrzucamy i a\(\displaystyle{ _2=2+2\sqrt{2}}\)
Czyli obwód wynosi \(\displaystyle{ 4(2+2\sqrt{2})}\)

Popiolkas · Post autor: **Popiolkas** » 17 kwie 2009, o 21:27

to lecimy po kolei

zad.1 Przekątna kwadratu jest o 2 cm dłuższa od jego boku. Jaki obwód ma ten kwadrat?

Narysuj kwadrat, boki oznaczamy a, przekatna a+2. Wiemy ze przekatna kwadratu o boku a wynosi a\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) (wynika to wlasnie z tw. pitagorasa).
Zatem a + 2 = a\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\). Wyznaczyc a i pomnozyc razy 4 chyba sama bedziesz umiala:)

zad.2 Przekątne trapezu równoramiennego dzielą kąty przy dłuższej podstawie na połowy i przecinają się pod kątem 120(stopni). Dłuższa podstawa ma 12 cm. Oblicz obwód tego trapezu.

rozpisz sobie jak wygladaja wszystkie katy, utworza Ci sie trojkaty prostokatne rownoramienne, na pewno cos sama wymyslisz dalej to jest proste zadanie:)

zad.3 O ile zwiększy się długość przekątnej kwadratu, jeśli bok kwadratu zwiększymy o 2?

bok kwadratu- a
przekatna - a\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)

zatem po zwiekszeniu bok - a+2
przekatna (a+2)\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) wiec jesli mielismy a\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) a mamy (a+2)\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) to chyba juz sama "obliczysz" o ile:)

zad.4 O ile zwiększy się wysokość trójkąta równobocznego, jeśli bok trójkąta zwiększymy o 2?

bok - a
wysokosc - \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{3}}{2}}\)

robisz analogicznie jak zadanie 3:) postaraj sie sama zrobic i zobaczymy co Ci wyjdzie

agatka2602 · Post autor: **agatka2602** » 17 kwie 2009, o 22:20

czyli w tym zad.3 (a+2) \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) = a \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) + 2\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i co dalej? jak? wiem, że to pewnie wydaje się banalnie proste... ale czym bardziej się w to zagłębiam tym staje się to coraz trudniejsze...;/ Co ja właściwie tu obliczam?

Mortify · Post autor: **Mortify** » 17 kwie 2009, o 23:48

wydaje mi się, że wyróżnik trójmianu kwadratowego poznaje się dopiero w liceum, a nie w gim:D

w zad3 masz obliczyć różnicę między "nową" a "starą" przekątną.
czyli będzie: \(\displaystyle{ a \sqrt{2}+2 \sqrt{2} -a \sqrt{2}= 2\sqrt{2}}\)

agatka2602 · Post autor: **agatka2602** » 18 kwie 2009, o 12:24

Więc jak obliczyć zad.1? Masakra.

Mortify · Post autor: **Mortify** » 18 kwie 2009, o 13:35

Popiolkas, przecież Ci napisał.
a-bok
\(\displaystyle{ a \sqrt{2}}\) -przekątna
\(\displaystyle{ a+2}\)-przekątna
czyli: \(\displaystyle{ a+2=a \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ a \sqrt{2}-a=2}\)
\(\displaystyle{ a( \sqrt{2}-1)=2}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{2}{ \sqrt{2}-1 }}\) usuwasz niewymierność:
\(\displaystyle{ a=2( \sqrt{2}+1)}\)
\(\displaystyle{ Ob=4a=8( \sqrt{2}+1)}\)