wykaz ze prosty

[iss]

Dany jest kwadrat ABCD, w którym przekątne przecinają się w punkcie O.Punkt K jest środkiem odcinka AO,a punkt L-jest środkiem boku CD. Wykaż że kąt LKB jest prosty.

Wychodzi mi jakiś niestworzony pierwiastek.spróbujcie

[lukasz1804]

Niech \(\displaystyle{ a}\) oznacza bok kwadratu. Niech ponadto M, N, P będą rzutami prostopadłymi punktu K na bok AD, AB, BC odpowiednio. Czworokąt AMKN jest kwadratem o przekątnej długości \(\displaystyle{ |AK|=\frac{a\sqrt{2}}{4}}\). Stąd w szczególności mamy \(\displaystyle{ |KM|=|KN|=\frac{a}{4}}\). Zauważmy także, że \(\displaystyle{ |DP|=|KM|=\frac{a}{4}}\). Wobec tego

\(\displaystyle{ |BN|=a-\frac{a}{4}=\frac{3}{4}a,\ |LP|=\frac{a}{2}-\frac{a}{4}=\frac{a}{4},\ |KP|=|PN|-|KN|=|AD|-|KN|=a-\frac{a}{4}=\frac{3}{4}a}\).

Stąd i z twierdzenia Pitagorasa dostajemy \(\displaystyle{ |BK|=\sqrt{|KN|^2+|BN|^2}=\sqrt{\frac{a^2}{16}+\frac{9a^2}{16}}=\frac{a\sqrt{10}}{4}}\) oraz \(\displaystyle{ |KL|=\sqrt{|KP|^2+|LP|^2}=\sqrt{\frac{9a^2}{16}+\frac{a^2}{16}}=\frac{a\sqrt{10}}{4}}\).
Z drugiej strony mamy także \(\displaystyle{ |CL|=\frac{a}{2}}\), więc z twierdzenia Pitagorasa wnioskujemy, że \(\displaystyle{ |BL|=\sqrt{|CL|^2+|BC|^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}+a^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}}\).
Mamy zatem \(\displaystyle{ |BL|^2=|BK|^2+|KL|^2}\), wiec z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa wynika, że kąt LKB jest prosty.

Pozdrawiam