twierdzenie cosinusów

[damcios]

Suma długości przekątnych rombu jest równa m, a kąt ostry jest równy alfa. oblicz obwód rombu.

[BettyBoo]

Nie wiem dlaczego topik się tak nazywa. Nie widzę potrzeby stosowania tu twierdzenia cosinusów, skoro mamy do dyspozycji trójkąt prostokątny

Niech x będzie połową długości krótszej przekątnej, y - połową długości dłuższej oraz a niech będzie długością boku rombu. Szukamy wartości 4a. Z założenia mamy, że y+x=m/2.

Przekątne rombu przecinają się w połowie pod kątem prostym i tną katy przy wierzchołkach na pół.
Otrzymujemy więc trójkąt prostokątny o przyprostokątnych x,y i przeciwprostokątnej a, w którym kąt między a oraz y jest równy alfa/2.
Zatem \(\displaystyle{ \frac{x}{y}=tg\frac{\alpha}{2}\ \Rightarrow \ x=ytg\frac{\alpha}{2}\ \Rightarrow \ \frac{m}{2}=y+x=y(1+tg\frac{\alpha}{2})=y\frac{cos \frac{\alpha}{2}+sin \frac{\alpha}{2}}{cos \frac{\alpha}{2}}\ \Rightarrow}\)

\(\displaystyle{ \Rightarrow \ y=\frac{m cos \frac{\alpha}{2}}{2(cos \frac{\alpha}{2}+sin \frac{\alpha}{2})}}\)

Z drugiej strony \(\displaystyle{ \frac{y}{a}=cos\frac{\alpha}{2}\ \Rightarrow \ a=\frac{y}{cos\frac{\alpha}{2}}}\), skąd ostatecznie mamy

\(\displaystyle{ 4a=4\frac{y}{cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{2m }{cos \frac{\alpha}{2}+sin \frac{\alpha}{2}}}\)

Pozdrawiam.