Wyznaczenie kątów w trójkącie prostokątnym - matura.

ozix56 · Post autor: **ozix56** » 13 kwie 2009, o 17:41

Treść zadania

W trójkącie równoramiennym ABC, w którym \(\displaystyle{ AC = BC i AB = 10}\) poprowadzono dwusieczną kąta BAC, przecinającą bok BC w punkcie D. Wówczas okazało się, że AD = AB = CD.
a)Wyznacz miary kątów trójkąta ABC.
b)Oblicz długość ramienia AC.

Co zrobiłem:
No nie zrobiłem prawie nic, bo zaczynając od podpunktu a) nie wiem jak ruszyć.
Oczywiście mam rysunek i zaznaczone 3 odcinki o długości 10.

Narysowałem sobie również wszystkie 3 sieczne i wpisałem okrąg, bo pewnie to z jego własności będzie trzeba jakoś wyjść. Sieczne dzielą okrąg na 6 części, ale nie są one takie same, bo to nie trójkąt równoboczny.
Proszę zatem o pomoc i z góry dziękuję.

krzych07 · Post autor: **krzych07** » 13 kwie 2009, o 18:00

Znajdzsobie twierdzenie o dwusiecznych w trojkacie wynika z niego w twoim przypadku że:
\(\displaystyle{ \frac{a}{10} = \frac{10}{a-10}}\) Z tego dostaniesz a, czyli długośc ramienia a pozniej z katami dasz rade.

krzywy1607 · Post autor: **krzywy1607** » 13 kwie 2009, o 18:00

Po narysowaniu wyszło mi coś takiego: (sorka, za jakość )

5x=180 stopni
x=36 stopni
Kąty już sobie chyba policzysz

b)
Z Twierdzenia cosinusów (dla trójkąta ADC):
\(\displaystyle{ |AC| ^{2}=100+100-200cos(108)}\)
Dalej chyba dasz rade

ozix56 · Post autor: **ozix56** » 13 kwie 2009, o 19:45

Boki obliczyłem ale nadal nie rozumiem skąd te kąty się wzięły.
Na jakiej postawie założyłeś, że 180 stopni = 5x?
dlaczego tak?

krzywy1607 · Post autor: **krzywy1607** » 13 kwie 2009, o 22:13

Na początku masz te same 10
Dwusieczna dzieli kąt na dwa równe kąty, w tym przypadku na dwa ixy
CD=AD czyli trójkąt jest równoramienny czyli przy wierzchołku C tez stawiasz x AC=BC czyli ten duży trójkąt jest równoramienny, czyli 2x wpisujesz przy wierzchołku B, AD=AB, kolejny równoramienny wpisujemy znów 2x. Mamy trójkącik ADB lub ABC z kątami, wiemy, że suma kątów w trójkacie równa jest 180 Czyli 5x=180 wtedy dzieki temu mozemy wpisać przy D 3x
Już jasne ?

ozix56 · Post autor: **ozix56** » 14 kwie 2009, o 11:38

Tak, teraz rozumiem doskonale.
Mam za to inne pytanie.
Nie istnieje żaden bardziej "techniczny" sposób wyznaczenia tych kątów?
Obawiam się bowiem, że jeśli na maturze dostanę taki trójkąt to wiele czasu zajmie mi jego rozpracowanie.
Na co powinienem zwracać uwagę?
- Czy jakiś trójkąt ma kąt prosty
- Czy jest równoramienny lub równoboczny
Co jeszcze ważnego powinienem sprawdzić?

krzywy1607 · Post autor: **krzywy1607** » 14 kwie 2009, o 12:15

Bardziej techniczny .. nie wiem.
Dla mnie ten sposób wydaje się bardzo prosty.

W zadaniach z trójkątami (różnego rodzaju)
Zwracasz uwage na wszystko co widzisz. Tak jak napisałeś, prostokątny, równoramienny, równoboczny. Jak widzisz, że prostokątny można zawsze kombinować funkcjami trygonometrycznymi, Pitagorasem itp.
W zadaniach z trójkątami można wiele zrobić. Opisać okrąg, wpisać okrąg itd. itd.
Jest bardzo dużo możliwości

W tym zadaniu jak narysujesz 2 kąty przy dwusiecznej i widzisz, że równoramienny automatycznie wpisuj po drugiej stronie 2x ten kąt. Pozniej szukasz znów równoramiennych i sie daje rade Na koniec wykorzystujesz fakt,że suma kątów w trójkącie to 180 stopni Nie wiem, jak można to prościej zrobić

P.S. Jaki poziom matury ?
P.S.2 Matura to bzdura
P.S.3 Powodzenia

ozix56 · Post autor: **ozix56** » 14 kwie 2009, o 12:37

No rozszerzoną piszę a geometrię zawsze zostawiałem z boku