oblicz odległość wierzchołka od odcinka

[naadjya]

W porstokącie ABCD, w którym \(\displaystyle{ \frac{|AD|}{|AB|}=\frac{1}{4}}\) połączono wierzchołek A ze środkiem E boku CD. Oblicz odległość |DF| wierzchołka D od odcinka AE oraz stosunek długości przekątnej prostokąta do długości odcinka DF.

[Sherlock]

Trójkąty prostokątne AGE, EFD i DFA są podobne (cecha kąt-kąt-kąt) zatem (wziąłem pod uwagę trójkąty AGE i EFD):
\(\displaystyle{ \frac{|EG|}{|AE|}= \frac{|DF|} {|ED|}}\)
\(\displaystyle{ |DF|= \frac{|EG| \cdot |ED|}{|AE|}}\)
brakuje |AE| ale to policzysz z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ |AE|^2=a^2+(2a)^2}\)
W drugiej części zadania potrzebujesz długości przekątnej prostokąta - tu także tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ |AC|^2=|BD|^2=a^2+(4a)^2}\)

Wesołych Świąt

[naadjya]

może ktoś sprawdzić czy dobrze zrobiłam

\(\displaystyle{ \frac{|EG|}{|AE|} = \frac{|DF|}{|ED|}}\)
\(\displaystyle{ |DF|= \frac{|EG|*|ED|}{|AE|}}\)
\(\displaystyle{ |DF|= \frac{|EG|*|2a|}{5a} = \frac{3a}{5a}}\)
\(\displaystyle{ |DF|= \frac{3a}{5a} = 0.6a}\)

\(\displaystyle{ |AE| ^{2} = a ^{2} + (2a) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ |AE| ^{2} = a ^{2} + 4a ^{2}}\)
\(\displaystyle{ |AE| ^{2} = 5a ^{2}}\)
\(\displaystyle{ |AE| ^{2} = \sqrt{5a^{2}}}\)
\(\displaystyle{ |AE|= 5a}\)

\(\displaystyle{ |AC| ^{2} = |BD| ^{2} = a ^{2} + (4a) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ |AC| ^{2} = |BD| ^{2} = 9a ^{2}}\)

odległość |DF| od odcinka AE = \(\displaystyle{ \frac{3}{5}a - 9a = -8 \frac{2}{5}a}\)

stosunek długości przekątnej prostokątna do długości odcinka DF to \(\displaystyle{ \frac{3a}{5a} = \frac{1}{4}}\)

[Sherlock]

\(\displaystyle{ |DF|= \frac{|EG|*|ED|}{|AE|}}\)

podstaw jeszcze raz
\(\displaystyle{ |EG|=a}\)
\(\displaystyle{ |ED|=2a}\)
\(\displaystyle{ |AE|}\).... policz jeszcze raz z tw. Pitagorasa, dziwnie wyciągasz pierwiastek

[naadjya]

wszystko mi wychodzi tak samo <zalamka> czyli całę zadanie mam źle ?

[Sherlock]

Podzielimy zadanie na etapy:

1. Z tw. Pitagorasa policz |AE|
\(\displaystyle{ |AE|^2=a^2+(2a)^2}\)

2. Wylicz |DF|:
\(\displaystyle{ |DF|= \frac{|EG|*|ED|}{|AE|}}\)
|AE| liczyłaś wyżej, zerknij na rysunek:\(\displaystyle{ |EG|=a}\), \(\displaystyle{ |ED|=2a}\), podstaw i wylicz |DF|

3. Liczymy przekątną prostokąta np. |AC|:
\(\displaystyle{ |AC|^2=a^2+(4a)^2}\)

4. Liczysz stosunek:
\(\displaystyle{ \frac{|AC|}{|DF|}}\)

[naadjya]

a teraz dobrze ( inaczej już nie umiem zrobić)

1. z pitagorasa liczymy |AE|
\(\displaystyle{ |AE| ^{2} =a ^{2} + (2a) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ |AE| ^{2} = 5a ^{2}}\)
\(\displaystyle{ |AE| ^{2} = \sqrt{5a ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ |AE|= 5a}\)

wyliczamy |DF|
\(\displaystyle{ |DF|= \frac{|EG|*|ED|}{|AE|}}\)
\(\displaystyle{ |DF|= \frac{a*2a}{5a}}\)
\(\displaystyle{ |DF|= \frac{3a}{5a}}\)

przekątna prostokąta |AC|
\(\displaystyle{ |AC| ^{2} = a ^{2}+(4a) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ |AC| ^{2}= 17a ^{2}}\)

stosunek
\(\displaystyle{ \frac{|AC|}{DF|} = \frac{17a ^{2} }{ \frac{3a}{5a} } = \frac{17a ^{2}*5a }{3a} = \frac{85a ^{2} }{3}}\)

odległość |DF| od odcinka AE = \(\displaystyle{ \frac{3a}{5a} - 5a= -4 \frac{2}{5} a}\)-- 10 kwi 2009, o 13:05 --dobrze to zadanie zrobiłam?

[Sherlock]

\(\displaystyle{ |AE| ^{2} = 5a ^{2}}\)

\(\displaystyle{ |AE|= \sqrt{5a ^{2}}}\)
\(\displaystyle{ |AE|=a \sqrt{5}}\)

policz dalej z poprawką

uważaj jak mnożysz przy liczeniu |DF|...

\(\displaystyle{ |AC| ^{2}= 17a ^{2}}\)

tu też spierwiastkuj by otrzymać |AC|

[naadjya]

a teraz dobrze , inaczej juz nie dam rady zrobić??

\(\displaystyle{ |AE|=a \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ |DF|= \frac{3a \sqrt{5} }{5a}}\)
\(\displaystyle{ |AC|=a \sqrt{17}}\)
stosunek:
\(\displaystyle{ \frac{|AC|}{|DF|} = \frac{a \sqrt{17} }{ \frac{3a \sqrt{5} }{5a} } = \frac{a \sqrt{17}*5a }{3a \sqrt{5} } = \frac{5a ^{2} \sqrt{17} }{3a \sqrt{5}}}\)

[Sherlock]

Popatrz na rysunek:
\(\displaystyle{ |DF|= \frac{|EG|*|ED|}{|AE|}}\)
zatem podstawiamy \(\displaystyle{ |EG|=a, |ED|=2a, |AE|=a \sqrt{5}}\) czyli:
\(\displaystyle{ |DF|= \frac{a \cdot 2a}{a \sqrt{5}}}\)
skracamy w liczniku i mianowniku jedno a:
\(\displaystyle{ |DF|= \frac{2a}{ \sqrt{5} }}\)
usuwamy niewymierność z mianownika:
\(\displaystyle{ |DF|= \frac{2a}{ \sqrt{5} }=\frac{2a}{ \sqrt{5} } \cdot \frac{ \sqrt{5}}{ \sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}a}{5}}\)

W drugiej części zadania wyliczyłaś przekątną prostokąta:
\(\displaystyle{ |AC|=a \sqrt{17}}\)
Teraz policzymy stosunek długości |AC| do |DF|
\(\displaystyle{ \frac{|AC|}{|DF|}= \frac{a \sqrt{17}}{\frac{2 \sqrt{5}a}{5}} =a \sqrt{17} \cdot \frac{5}{2 \sqrt{5}a}}\)
skracamy a i usuwamy niewymierność z mianownika:
\(\displaystyle{ \frac{|AC|}{|DF|}=a \sqrt{17} \cdot \frac{5}{2 \sqrt{5}a}= \frac{5 \sqrt{17} }{2 \sqrt{5} } =\frac{5 \sqrt{17} }{2 \sqrt{5} } \cdot \frac{ \sqrt{5} }{ \sqrt{5} } = \frac{5 \sqrt{85} }{10}= \frac{ \sqrt{85} }{2}}\)

zerknij teraz do swoich obliczeń, odszukaj i popraw to co policzyłaś nieprawidłowo