oblicz obówd czworokąta gdy znasz jego pole

[naadjya]

przekątna BD czworokąta ABCD dzieli go na trójkąt prostokątny równoramienny i trójkąt równoboczny. Oblicz obwód tego czworokąta, jeśli wiadomo, że jego pole jest równe \(\displaystyle{ 4(\sqrt{3}+1)}\)

[Ralf1410]

Spróbuj narysować te trójkąty i połączyć je tak by powstał czworokąt.Wydaje mi się, że to będzie trapez.
Masz wtedy pole trapezu dane wzorem

\(\displaystyle{ P= \frac{(|AB|+|CD|) \cdot |AD|}{2}}\)

gdzie |AB|=|AD|, |BD|=|CD|=|BC|.

[naadjya]

ale ja pole mam podane mam policzyć obwód, więc jak mam je policzyć

[Sherlock]

Czworokątem jest latawiec, poprawniej będzie nazwać go: deltoid
Wzór na pole deltoidu to połowa iloczynu przekątnych zatem:
\(\displaystyle{ \frac{|AC| \cdot |BD|}{2} =4( \sqrt{3}+1)}\)
Wykorzystaj teraz informacje z zadania, trójkąt BCD jest równoboczny, oznaczmy długość boku przez a, wtedy część przekątnej deltoidu AC ma długość h - wysokość trójkąta równobocznego. Trójkąt ABD jest równoramienny i prostokątny (połowa kwadratu ), przeciwprostokątna ma długość a, to także przekątna deltoidu BD. Pozostałą część przekątnej AC wyliczysz lub po prostu zauważysz, że wynosi \(\displaystyle{ \frac{a}{2}}\). Krótko mówiąc, przedstaw długości przekątnych deltoidu za pomocą a, podstaw do powyższego wzoru na pole i wylicz a, policzenie obwodu nie sprawi problemu

[naadjya]

może ktoś sprawdzić czy dobrze zrobiłam

\(\displaystyle{ \frac{|AC|*|BD|}{2} = 4( \sqrt{3} + 1)}\)
BD=\(\displaystyle{ \frac{2a}{2} = a}\)
\(\displaystyle{ \frac{|AC|*a}{2}=4( \sqrt{3} +1) /:2}\)
|AC| * a =2(\(\displaystyle{ \sqrt{3} + 1) /: |AC|}\)
a=\(\displaystyle{ \frac{2( \sqrt{3} +1)}{|AC|}}\)

4* \(\displaystyle{ \frac{2( \sqrt{3+1)} }{|AC|}=8( \sqrt{3} +1)}\)
obwód tego czworokąta to 8(\(\displaystyle{ \sqrt{3} +1)}\)

[Sherlock]

\(\displaystyle{ \frac{|AC|*a}{2}=4( \sqrt{3} +1) /:2}\)
\(\displaystyle{ |AC| * a =2( \sqrt{3} + 1) /: |AC|}\)

skoro dzielisz przez 2 to dlaczego mnożysz przez 2...

policz najpierw |AC|,
\(\displaystyle{ |AC|= \frac{a}{2}+h}\)
h to wysokość w trójkącie równobocznym o boku a czyli: \(\displaystyle{ h= \frac{a \sqrt{3} }{2}}\)

[naadjya]

to ja już nie wiem co mam dobrze a co źle ;-/ nie wiem jak to zrobić

[Sherlock]

nie wiem jak to zrobić

policzyć jeszcze raz, powolutku...
jeśli coś nie jasne pytaj

-- 9 kwietnia 2009, 21:53 --

Dzielimy zadanie na etapy:
1. Przekątna deltoidu \(\displaystyle{ |BD|=a}\) jest to przeciwprostokątna równoramiennego trójkąta prostokątnego ABD a także przekątna kwadratu gdzie |AB|=|AD|. Możemy |AB| i |AD| policzyć łatwo z tw. Pitagorasa lub przekątnej kwadratu (trójkąt ABD to połowa kwadratu) czyli:
\(\displaystyle{ |BD|= \sqrt{2} |AB|}\)
\(\displaystyle{ a=\sqrt{2} |AB|}\)
\(\displaystyle{ |AB|= \frac{a}{ \sqrt{2} } = \frac{a \sqrt{2} }{2}}\)
zatem \(\displaystyle{ |AD|=\frac{a \sqrt{2} }{2}}\)

2. Przekątna \(\displaystyle{ |AC|=h+ \frac{a}{2}}\), h to wysokość trójkąta równobocznego czyli:
\(\displaystyle{ h= \frac{a \sqrt{3} }{2}}\) zatem:
\(\displaystyle{ |AC|=\frac{a \sqrt{3} }{2}+\frac{a}{2}= \frac{a( \sqrt{3}+1) }{2}}\)

3. Z pola wiemy, że:
\(\displaystyle{ \frac{|AC| \cdot |BD|}{2} =4( \sqrt{3}+1)}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \frac{a( \sqrt{3}+1) }{2} \cdot a=4( \sqrt{3}+1)}\)
\(\displaystyle{ a^2=16}\)
\(\displaystyle{ a=4}\)

4. Boki deltoidu \(\displaystyle{ |BC|=|DC|=a}\) zatem obwód:
\(\displaystyle{ Obw=|AB|+|AD|+|BC|+|DC|=2 \cdot \frac{a \sqrt{2} }{2}+2a}\)
podstaw \(\displaystyle{ a=4}\) i po sprawie