okrąg wpisany w trójkąt równoramienny

Susanna · Post autor: **Susanna** » 6 kwie 2009, o 18:43

W trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|, kąt przy wierzchołku C wynosi 120 stopni, wpisano okrąg, którego promień ma długośc 3 cm. Oblicz długość boków trójkąta.

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 6 kwie 2009, o 18:58

niech O - środek okręgu. poprowadź promienie do punktów styczności okr. z bokami tr. poprowadź dwusieczną kąta C. zauważ, że utworzyła ona tr. 30, 60, 90, w którym znasz jeden bok. wylicz jego przeciwprostokątną. zauważ, że znasz teraz wysokość trójkąta ABC, która jest jednocześnie krótszą przyprostokąną w trójkącie 30, 60, 90 będącym połową trójkąta ABC. stąd już wyznaczysz boki.

Susanna · Post autor: **Susanna** » 6 kwie 2009, o 19:34

A można poprosić o rysunek i w miarę obliczenia? Zalezy mi na tym, bo z matmą u mnie słabo...;/

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 6 kwie 2009, o 20:02

nie umiem załączać obrazków... r odpowiada dłuższej przyprostokątnej trójkąta 30,60,90. z własności tego trójkąta mamy, że przeciwprostokątna \(\displaystyle{ p=r\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2r\sqrt{3}}{3}}\) cała wysokość dużego trójkąta to \(\displaystyle{ r+p=\frac{r(3+2\sqrt{3})}{3}}\)
wysokość odpowiada krótszej przyprostok. w tr. 30, 60,90, który jest połową naszego trójkąta. stąd ramię tego trójkąta = 2*wysokość =\(\displaystyle{ \frac{2r(3+2\sqrt{3})}{3}}\), a połowa podstawy to \(\displaystyle{ wysokosc*\sqrt{3}=\frac{r\sqrt{3}(3+2\sqrt{3})}{3}}\)

teraz trzeba to pododawać i podstawić za r.

Susanna · Post autor: **Susanna** » 6 kwie 2009, o 21:48

Dzięki, już mam