Półkole i półokrąg

[Finarfin]

Dane jest półkole o średnicy \(\displaystyle{ AB}\) i promieniu długości \(\displaystyle{ AO=r}\). Na promieniu \(\displaystyle{ AO}\) jako na średnicy wewnątrz danego półkola zakreślono półokrąg. Na większym półokręgu obrano punkt \(\displaystyle{ P}\) i połączono go z punktami \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Odcinek \(\displaystyle{ AP}\) przecina mniejszy półokrąg w punkcie \(\displaystyle{ C}\). Obliczyć długość odcinka \(\displaystyle{ AP}\), jeżeli wiadomo, że \(\displaystyle{ CP+ PB=1}\). Przeprowadzić analizę dla jakich wartości \(\displaystyle{ r}\) zadanie ma rozwiązanie.


Dziękuję za pomoc w rozwiązaniu zadania

[W_Zygmunt]

\(\displaystyle{ |AB|^{2}\,=\,|AP|^{2} + |PB|^{2}}\)
\(\displaystyle{ (2\cdot r)^{2}\,=\,(2\cdot x)^{2} + (1 - x)^{2}}\)
stąd
\(\displaystyle{ x\,=\, - \frac{ 2\cdot \sqrt{5\cdot r^{2} - 1} - 1 }{5}}\)
\(\displaystyle{ x\,=\,\frac{ 2\cdot \sqrt{5\cdot r^{2} - 1} + 1 }{5}}\)
Warunki:
\(\displaystyle{ 5\cdot r^{2} - 1>0}\)
\(\displaystyle{ 1 - x q 0}\)

[Finarfin]

Dziękuję bardzo za owocne informacje do tego zadania. Mam jeszcze pytanie odnośnie warunków, bo nie wiem do końca czy dobrze interpretuję

Warunki:
\(\displaystyle{ (1) 5\cdot r^{2} - 1>0}\)
\(\displaystyle{ (2) 1 - x q 0}\)

Warunek (2) jest chyba prosty w interpretacji, bo odcinek|PB| nie może być mniejszy od 0 i nie większy od 1, bo wtedy odcinek |CP| byłby mniejszy od 0. A to raczej niemożliwe.

O tyle gorzej jest z warunkiem (1). Wartość pod pierwiastkiem nie może być mniejsza od zera, a więc musi być większa....równa. Znak ≥ zniknął poprzez ten drugi warunek, czy jak?


Byłbym wdzięczny za rozwianie mych wątpliwości

[DEXiu]

Oczywiście może, a nawet powinna tam być nierówność słaba, tzn. ≥

[Finarfin]

DEXiu, hmm...mi się też tak wydaje, ale nie mogę być tego w 100% pewny, ponieważ sam nie dopatruję się jakoby to rozumowanie było złe, jednakże osoba starsza i bardziej doświadczona podała mi inny warunek

Dlatego grzecznie pytam.


Jeszcze pytanie odnośnie tego zadania, czy te warunki, to jedyne warunki....a czy przypadkiem x nie musi być większe od 0....bo jeden bok jest równy 2x, więc chyba nie może byc bokiem, mającym ujemną długość...

[W_Zygmunt]

Tak, oczywiście w jednym i drugim warunku powinna być nierówność słaba.
Tyle, że przy wartości równej zero, nie mamy trójkąta. Wartości „x” są dwie,
bo to rozwiązana równania kwadratowego. Wybieramy x>0, bo „x” oznacza
długość odcinka.

[Finarfin]

W_ZYGMUNT, taką też zrobiłem własną interpretację tego zadania. Więc jeszcze raz dziękuję za pomoc.