promień okręgu

[celia11]

proszę o pomoc:

Uzasadnij, że promień okręgu opisanego na trójkącie rówobocznym o boku długości a wyraża się za pomocą wzoru:

\(\displaystyle{ R= \frac{a \sqrt{3} }{3}}\)

dziękuję

[Tomcat]

Więc na początek mam nadzieję, że masz odpowiedni rysunek. Wiemy, że jeżeli mamy trójkąt równoboczny o boku a to jego wysokość wynosi \(\displaystyle{ h=\frac{a\sqrt{3}}{2}}\)
Środek okręgu opisanego na trójkącie to punkt przecięcia dwusiecznych kątów, a w trójkącie równobocznym pokrywają się one z wysokościami. Punkt przecięcia dzieli wysokości w stosunki 1 : 2 i jak zauważysz na rysunku 2/3 wysokości to nasz szukany promień. Z tego wprost wyprowadzamy:
\(\displaystyle{ R=\frac{2}{3} * h=\frac{2}{3}*\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}}\)
Co do wykazania.