Pole i długość przekątnej w równoległoboku.

[manko_wlkp]

6) Dłuższa przekątna równoległoboku o kącie ostrym 60 stopni ma długośc \(\displaystyle{ 3 \sqrt{7}}\). Różnica długości jego boków wynosi 3. Oblicz pole tego równoległoboku i długość krótszej przekątnej.

Prosiłbym o dokładne rozwiązanie zadania, tak abym mógł je przeanalizować. Dziękuję bardzo.

[moniczkaam]

Oznaczmy sobie dlugosci bokow jako \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ (a-3)}\), \(\displaystyle{ a>3}\). Jesli kat ostry ma 60 stopni, to kat rozwarty bedzie mial miare 120 stopni. Przekatna lezy "na przeciw" kata 120 stopni wiec mozemy skorzystac z twierdzenia cosinusów:
\(\displaystyle{ (3\sqrt{7})^2=a^2+(a-3)^2-2a(a-3) \cos 120^{\circ}}\)
Wyliczając to równanie dochodzimy do równania kwadratowego :
\(\displaystyle{ a^2-3a-18=0}\)
Obliczając z kolei to równanie wyliczamy \(\displaystyle{ a}\), biorąc pod uwagę tylko rozwiązanie gdy \(\displaystyle{ a>3}\), czyli tutaj \(\displaystyle{ a=6}\).

Mamy więc wyliczone boki równoległoboku : 6 oraz 3.
Licząc pole równoległoboku możemy skorzystać ze wzoru Pole= bok1*bok2* sinus kąta między bokami, tak więc : \(\displaystyle{ P=3*6* \sin 60 ^{\circ}}\)

Jeśli natomiast chcemy policzyć krótszą przekątną korzystamy z twierdzenia cosinusów, tym razem biorąc pod uwagę kąt 60 stopni, gdyż przekątna ta będzie leżała "na przeciw" tego kąta tak więc oznaczając ją jako \(\displaystyle{ d}\)mamy:
\(\displaystyle{ d^2=6^2+3^2-2*6*3* \cos 60^{\circ}}\)