W trójkącie równoramiennym...

danielk32 · Post autor: **danielk32** » 3 kwie 2009, o 18:08

W trójkącie równoramiennym ramię długości 16 cm tworzy z podstawą kąt 30 stopni. oblicz pole i obwód trójkąta. Wyznacz miarę wszystkich kątów.

Poodzian · Post autor: **Poodzian** » 3 kwie 2009, o 18:25

Rysunek i wszystko powinno stać się jasne
Poprowadź sobie wysokość dochodzącą do podstawy - podzieliła ona nasz trójkąt na dwa identyczne trójkąty prostokątne

Ponadto powinno rzucić się w oczy, że \(\displaystyle{ \cos 30^{0}=\frac{16}{a}}\)
...gdzie \(\displaystyle{ a}\) to połowa jego podstawy

A reszta kątów?
Wiadomo, że ich suma w każdym trójkącie to \(\displaystyle{ 180^{0}}\)
Zatem szukamy jednie kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) między ramionami: \(\displaystyle{ \alpha=180^{0}-2\cdot 30^{0}}\)

danielk32 · Post autor: **danielk32** » 3 kwie 2009, o 18:32

do tego doszedłem sam ale jak obliczyć pole i obwód czy iść przez tw. Pitagorasa czy z cos?

Poodzian · Post autor: **Poodzian** » 3 kwie 2009, o 18:54

To w takim razie w czym problem?

Obwód to suma długości każdego z boków trójkąta
Znasz dwa z nich - ramiona (są one sobie równe, skoro trójkąt ma być równoramienny)
Trzecim bokiem jest podstawa, zaś jej długość \(\displaystyle{ 2a}\)

Do pola zaś potrzebna jest wysokość...
To właśnie ona podzieliła wyjściowy trójkąt na dwie części - identyczne trójkąty prostokątne (każdy z przeciwprostokątną o długości 16 oraz z przyprostokątnymi: \(\displaystyle{ a}\) i wysokością wyjściowego trójkąta)

Można więc Pitagorasem

danielk32 · Post autor: **danielk32** » 3 kwie 2009, o 19:03

Czy pole można liczyć ze wzoru frac{1}{2}* b^{2}*sin alpha ? dlaczego podstawa jest równa 2a czyli 32?

marty · Post autor: **marty** » 3 kwie 2009, o 19:29

\(\displaystyle{ P=0,5 a^2 sin \alpha}\)
a-długość ramienia
alpha-kąt zawarty pomiędzy ramionami
a wiadomo, że kąt ten będzie rowny 180- (2*30) =... - oczywiscie kąty w stopniach

Poodzian · Post autor: **Poodzian** » 3 kwie 2009, o 19:32

No odpowiedzią jest właśnie ten rysunek, o którym pisałem w pierwszym poście
W każdym zadaniu z zakresu geometrii to podstawa

Wielkość \(\displaystyle{ a}\) (połowę podstawy) wyznaczamy z zależności podanej przeze mnie powyżej
\(\displaystyle{ \cos 30^{0}=\frac{a}{16}}\)
Zatem: \(\displaystyle{ a=16\cos 30^{0}}\), zaś to: \(\displaystyle{ a=16\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}}\)

Zatem obwód to suma długości ramion (każde, co widać, ma \(\displaystyle{ 16}\)) i podstawy (powiedzianej wcześniej \(\displaystyle{ 2a}\))
Ostatecznie \(\displaystyle{ 32+16\sqrt{3}}\)

Wzór na pole to połowa iloczynu podstawy i wysokości trójkąta
Zatem: \(\displaystyle{ P=\frac{2ah}{2}}\)
\(\displaystyle{ P=ah}\), zaś wysokość pojawiającą się w tym wzorze można wyznaczyć z twierdzenia Pitagorasa właśnie dla zielonego trójkąta