Zadania z inwersji

neworder · Post autor: **neworder** » 4 lut 2006, o 19:26

Zna ktoś może jakieś ciekawe zadania do zrobienia na inwersję?

Pozwoliłem sobie przenieść, bo tutaj większa szansa, że ktoś da sensowne odpowiedzi (inwersja to nie tylko trójkąty, a poza tym z trójkątami raczej nie będzie ciekawych zadań) - DEXiu

DEXiu · Post autor: **DEXiu** » 4 lut 2006, o 20:19

Korzystając z inwersji wykaż uogólnione twierdzenie Ptolemeusza: \(\displaystyle{ |AB|\cdot|CD|+|AD|\cdot|BC|\geq|AC|\cdot|BD|}\), gdzie A, B, C, D są wierzchołkami czworokąta, i że równość zachodzi wtw. gdy na tym czworokącie można opisać okrąg.

Nie wiem czy to jest dla ciebie "ciekawe zadanie", czy standard, ale może się przyda

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 4 lut 2006, o 20:39

Punkt \(\displaystyle{ R}\) należy do okręgu \(\displaystyle{ O}\), \(\displaystyle{ U}\) to jego rzut na średnicę \(\displaystyle{ PQ}\). Okrąg o średnicy \(\displaystyle{ UR}\) przecina okręgi o średnicach \(\displaystyle{ PU}\) i \(\displaystyle{ UQ}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ S}\) i \(\displaystyle{ T}\). Udowodnij, że trójki punków \(\displaystyle{ P,S,R}\) oraz \(\displaystyle{ Q,T,R}\) są współliniowe.

neworder · Post autor: **neworder** » 4 lut 2006, o 22:11

Dzięki. A propos zadanka Tomka - czy mógłbyś podać jego rozwiązanie? Bo robię i coś mi się wydaje, że coś schrzaniłem przy inwersji, tylko nie wiem co.

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 4 lut 2006, o 22:20

Nie chce mi się pisać całego, zastosuj inwersję względem \(\displaystyle{ U}\)

neworder · Post autor: **neworder** » 5 lut 2006, o 12:40

Ok, dzięki, jakoś sobie poradziłem. Ma ktoś jeszcze zadanka?

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 5 lut 2006, o 13:04

No widzisz. Udowodnij sobie wzór Eulera używając inwersji (odległość między środkami okręgu wpisanego a opisanego), nie pamiętam tego dowodu

Co do zadań, to idzie ładnie z inwersji:

Dany jest okrąg o środku \(\displaystyle{ O}\), punkt \(\displaystyle{ A}\) wewnątrz tego okręgu oraz cięciwa \(\displaystyle{ PQ}\), nie będąca średnicą, przechodząca przez \(\displaystyle{ A}\). Proste \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są styczne do rozważanego okręgu odopwiednio w punktach \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\). Prosta \(\displaystyle{ l}\) przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ A}\) i prostopadła do \(\displaystyle{ OA}\) przecina proste \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ |AK|=|AL|}\).

juzef · Post autor: **juzef** » 5 lut 2006, o 14:40

Danych jest \(\displaystyle{ n\geq 4}\) punktów, z których żadne trzy nie są współliniowe. Wykazać, że jeśli dowolny okrąg przechodzący przez trzy punkty przechodzi też przez czwarty, to wszystkie te punkty leżą na jednym okręgu.

neworder · Post autor: **neworder** » 5 lut 2006, o 15:25

Dzięki. Takie pytanko jeszcze, jakby ktoś miał chwilę czasu się przyjrzeć - mam trójkąt ABC, okrąg wpisany styczny do boków BC,AC,AB odpowiednio w punktach D,E,F, oraz punkt X wewnątrz trójkąta taki, że okrąg wpisany w trójkąt BXC jest styczny do BC w punkcie D, a do BX i CX w punktach Y i Z. Wykazać, że czworokąt EFYZ można wpisać w okrąg. Po dokonaniu inwersji względem punktu D wyszło mi, że obrazy punktów E,F,Y i Z tworzą prostokąt, więc teza zadania jest prawdziwa. Czy to poprawny wynik? (pytam, bo coś gładko poszło w porównaniu z "firmowym" rozwiązaniem)

Margaretta · Post autor: **Margaretta** » 1 sty 2010, o 23:58

Dany jest okrąg o środku \(\displaystyle{ O}\), punkt \(\displaystyle{ A}\) wewnątrz tego okręgu oraz cięciwa \(\displaystyle{ PQ}\), nie będąca średnicą, przechodząca przez \(\displaystyle{ A}\). Proste \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są styczne do rozważanego okręgu odopwiednio w punktach \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\). Prosta \(\displaystyle{ l}\) przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ A}\) i prostopadła do \(\displaystyle{ OA}\) przecina proste \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ |AK|=|AL|}\).[/quote]

Hej, czy ktos czyta stare posty i chciałby dac jakąs podpowiedź do tego zadania? ;/ jaki wziać okrąg inwersji?
Pozdrawiam

patry93 · Post autor: **patry93** » 26 maja 2010, o 19:40

Również odkopię troszkę.

DEXiu pisze:Korzystając z inwersji wykaż uogólnione twierdzenie Ptolemeusza: \(\displaystyle{ |AB|\cdot|CD|+|AD|\cdot|BC|\geq|AC|\cdot|BD|}\), gdzie A, B, C, D są wierzchołkami czworokąta, i że równość zachodzi wtw. gdy na tym czworokącie można opisać okrąg.

Nie wiem czy to jest dla ciebie "ciekawe zadanie", czy standard, ale może się przyda

Czy można prosić o wskazówkę?