tw Talesa równoleglobok

[Ryland]

Z trójkąta ABC, w którym |BC| = |AC| = 10 cm, |AB| = 12 cm, wycinamy równoległobok, którego jeden bok jest zawarty w boku Ab trójkąta, drugi zaś w jednym z pozostałych jego boków tak, aby miał on największe pole. Jakiej długości boki ma taki równoległobok i ile wynosi jego pole?

[arecek]

\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{6}{10}}\)

\(\displaystyle{ y = \frac{\frac{12-x}{2}}{\frac{6}{10}}}\)
\(\displaystyle{ y = 10 - \frac{5}{6}x}\)

\(\displaystyle{ P(x,y) = xy*sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ P(x) = x(10 - \frac{5}{6}x) * \frac{8}{10}}\)
\(\displaystyle{ P(x) = 8x - \frac{4}{6}x^{2}}\)

Parabola , skierowana w dół , o wierzchołki w punkcie (6,24)
Optymalne wymiaru równoległoboku to : 6, 5.

@edit z Talesa :


\(\displaystyle{ \frac{x}{12} = \frac{y}{10}}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{6}{5} y}\)

\(\displaystyle{ P(x,y) = (12-x)y*sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ P(y) = (12-\frac{6}{5}y)y * \frac{8}{10}}\)
\(\displaystyle{ P(y) = 12y - \frac{6}{5}y^{2} * \frac{8}{10}}\)
\(\displaystyle{ P(y) = 9.6y - \frac{4.8}{5}y^{2}}\)

Parabola , skierowana w dół , o wierzchołki w punkcie (5,24)
Optymalne wymiaru równoległoboku to : 6, 5.

[Ryland]

Prosiłbym jeszcze o pomoc w tym zadaniu :

W równoległoboku o przekątnych 22cm i 18cm wpisano romb tak ze jego boki są równoległe do przekątnych równoległoboku. Oblicz długość boku rombu.

odp :a=9,9cm

Też najlepiej z tw.Talesa

[matekm]

arecek

jak wyliczyłeś, że sin alfa wynosi 8/10?

[arecek]

\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{\frac{AB}{2}}{BC} = \frac{6}{10}}\) // połowa podstawy do ramienia

Z jedynki trygonometrycznej :

\(\displaystyle{ cos^{2} \alpha + sin^{2} \alpha = 1 \Leftrightarrow sin \alpha = \sqrt{(1 - cos^{2} \alpha)}}\)

\(\displaystyle{ sin \alpha = \sqrt{(1 - cos^{2} \alpha) } = \frac{8}{10}}\)