Trapez opisany na okręgu

mada2977 · Post autor: **mada2977** » 27 mar 2009, o 22:10

Cześć, bardzo proszę o jakiekolwiek wskazówki, bo nic sensownego nie przychodzi mi do głowy:
Trapez prostokątny o podstawach mających długości: 2 i 8 cm jest opisany na okręgu. Oblicz pole trapezu.
Z góry dziękuję za wszelką pomoc.

JankoS · Post autor: **JankoS** » 27 mar 2009, o 22:50

Z twierdzenia o czworokącie opiasanym na okręgu 2r + b =2 + 8. Z twierdzenia Pitagorasa \(\displaystyle{ (4r)^2+b^2=6^2.}\)

Tomcat · Post autor: **Tomcat** » 27 mar 2009, o 22:55

Dosyć sympatyczne zadanie . Oznaczmy podstawy jako a (krótsza) oraz b (dłuższa), c niech będzie ramieniem nieprostopadłym do podstaw, h to te drugie ramię. Z warunku na czworokąt opisany na okręgu mamy, że \(\displaystyle{ a+b=h+c}\) czyli \(\displaystyle{ h+c=10cm}\) Jeżeli teraz naszą wysokość przesuniemy równolegle do drugiego odcinka krótszej podstawy to otrzymamy trójkąt prostokątny o bokach h, c i (b-a), czyli 6. c możemy wyrazić jako \(\displaystyle{ c=10-h}\) i stosujemy tw. Pitagorasa.
\(\displaystyle{ c^2=h^2+6^2 \\
(10-h)^2=h^2+36}\)
Co po rozwinięciu da nam równanie kwadratowe. Wyznaczamy takie h > 0 i podstawiamy do wzoru \(\displaystyle{ \frac{(a+b)h}{2}}\) gdzie \(\displaystyle{ a+b=10}\)