Na trapezie o podstawach 16 cm i 8 cm oraz wysokości 8 cm opisano okrąg, jego środek leży
wewnątrz trapezu. Oblicz odległość środka okręgu od wszystkich boków tego trapezu-- 26 marca 2009, 19:18 --Heeelp me...;/
okrąg opisany na trapezie
-
panisiara
- Użytkownik
- Posty: 266
- Rejestracja: 21 sie 2008, o 17:50
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 101 razy
- Pomógł: 17 razy
okrąg opisany na trapezie
Mamy trapez równoramienny (bo opisany jest na nim okrąg) ABCD, gdzie AB to dłuższa podstwa, a CD to krótsza podstawa.
Mamy również wysokość DE , opadającą na podstawę AB. Mamy środek okręgu O. Odległości OD , OA, OC, OB są sobie równe i to długość promienia R.
Odległość O od podstaw wyliczyć łatwo, korzystając choćby z tw. Talesa. (kąty wierzchołkowe, podstawy podobne w skali...)
Ciekawe jest zagadnienie odległości od ramion trapezu.
NAjpierw policzmy długość ramienia c. Można ją wyliczyć z tw. Pitagorasa. ( trójkąt o przyprostokątnych : wysokość DE, EA (=4) i przeciwprostokątnej c).
Mi wyszło \(\displaystyle{ c=4 \sqrt{5}}\)
Dalej liczymy pole duzego trójkąta ADB
Ze wzoru \(\displaystyle{ P=0.5 \cdot h \cdot 16= 64}\)
Policzmy jeszcze długość boku DB, najlepiej z TW. Pitagorasa (trójkąt : h, EB, BD)
Mi wyszło \(\displaystyle{ DB= 4 \sqrt{13}}\)
Dalej zapisujemy pole ABD za pomocą innego wzoru:
\(\displaystyle{ P= |BD| \cdot |AB| \cdot |DA| \cdot \frac{1}{4R}}\) gdzie R to pormień okręgu opisanego na tym trójkącie ( i jednocześnie na trapezie).
Po przekształceniach i podstawieniu : \(\displaystyle{ R= \sqrt{65}}\)
Teraz wyobraź sobie trójkąt DOA
jego boki mają długości R,R, c
Wysokość tego trójkąta opadająca z O na bok DA to szukana odległość środka okręgu do boku c.
Liczysz pole trójkąta DOA (mimo że znasz długości boków,to lepiej nie licz z Pola Herona, bo możesz się pogubić z tymi wszystkimi pierwiastkami... ja liczyłam to pole "na około"- najpierw oznaczyłam sobie kąt x- kąt DAO. Policzyłam jego cosinus z Tw. Cosinusów. Potem z jedynki trygonometrycznej jego sinus. Następnie Policzyłam pole ze wzoru P=0,5 * sinx * R*c )
Pole wyszło mi \(\displaystyle{ 10 \sqrt{7}}\)
Teraz to pole podstawiam do najprostszego wzoru na pole trójkąta (0.5*h*c)
i wyliczam h.
Pozdrawiam, mam nadzieję, ze pomogłam
Mamy również wysokość DE , opadającą na podstawę AB. Mamy środek okręgu O. Odległości OD , OA, OC, OB są sobie równe i to długość promienia R.
Odległość O od podstaw wyliczyć łatwo, korzystając choćby z tw. Talesa. (kąty wierzchołkowe, podstawy podobne w skali...)
Ciekawe jest zagadnienie odległości od ramion trapezu.
NAjpierw policzmy długość ramienia c. Można ją wyliczyć z tw. Pitagorasa. ( trójkąt o przyprostokątnych : wysokość DE, EA (=4) i przeciwprostokątnej c).
Mi wyszło \(\displaystyle{ c=4 \sqrt{5}}\)
Dalej liczymy pole duzego trójkąta ADB
Ze wzoru \(\displaystyle{ P=0.5 \cdot h \cdot 16= 64}\)
Policzmy jeszcze długość boku DB, najlepiej z TW. Pitagorasa (trójkąt : h, EB, BD)
Mi wyszło \(\displaystyle{ DB= 4 \sqrt{13}}\)
Dalej zapisujemy pole ABD za pomocą innego wzoru:
\(\displaystyle{ P= |BD| \cdot |AB| \cdot |DA| \cdot \frac{1}{4R}}\) gdzie R to pormień okręgu opisanego na tym trójkącie ( i jednocześnie na trapezie).
Po przekształceniach i podstawieniu : \(\displaystyle{ R= \sqrt{65}}\)
Teraz wyobraź sobie trójkąt DOA
jego boki mają długości R,R, c
Wysokość tego trójkąta opadająca z O na bok DA to szukana odległość środka okręgu do boku c.
Liczysz pole trójkąta DOA (mimo że znasz długości boków,to lepiej nie licz z Pola Herona, bo możesz się pogubić z tymi wszystkimi pierwiastkami... ja liczyłam to pole "na około"- najpierw oznaczyłam sobie kąt x- kąt DAO. Policzyłam jego cosinus z Tw. Cosinusów. Potem z jedynki trygonometrycznej jego sinus. Następnie Policzyłam pole ze wzoru P=0,5 * sinx * R*c )
Pole wyszło mi \(\displaystyle{ 10 \sqrt{7}}\)
Teraz to pole podstawiam do najprostszego wzoru na pole trójkąta (0.5*h*c)
i wyliczam h.
Pozdrawiam, mam nadzieję, ze pomogłam