czworokąt wypukły
-
klaustrofob
- Użytkownik
- Posty: 1984
- Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: inowrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 607 razy
czworokąt wypukły
wykażę, że ze wszystkich czworokątów wypukłych o polu 1 najmniejszy obwód (równy 4) ma kwadrat. z tego wynika teza.
lemat: ze wszystkich trójkątów o tej samej podstawie i równym polu, najmniejszy obwód ma trójkat równoramienny.
rozważmy nasz czworokąt i jedną z jego przekątnych. dzieli ona wielokąt na dwa trójkąty - na podstawie lematu, nie zmieniając pola tych trójkątów, mogę zamienić je na trójkąty równoramienne, które za podstawę mają naszą przekątną, a obwód tak powstałego czworokata zmaleje. czworokąt ten jest złożony z dwóch trójkatów równoramiennych o wspólnej podstawie, ale mogą one mieć różne boki. przekątne tego czworokąta są prostopadłe. bierzemy drugą przekątną nowego czworokąta i rozumujemy jak poprzednio - otrzymany teraz czworokąt jest już rombem. konstrukcja pokazała, że dla danego czworokąta wypukłego można wskazać romb o takim samym polu i obwodzie mniejszym od pola czworokąta. teraz uzasadnię, że ze wszystkich rombów o danym polu, najmniejszy obwód ma kwadrat. niech p i q będą połowami przekątnych rombu - jego pole P jest równe 2pq, a obwód wynosi \(\displaystyle{ L=4\sqrt{p^2+q^2}}\). zadanie sprowadza się do minimalizacji L przy założeniu 2pq=const. nierówność między średnią kwadratową, a geometryczną: \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{p^2+q^2}{2}}\geq\sqrt{pq}}\) mnożymy przez \(\displaystyle{ 4\sqrt{2}}\) i mamy: \(\displaystyle{ L\geq 4\sqrt{P}}\)=const. w tej nierówności może zachodzić równość! wtedy i tylko wtedy, gdy p=q, a więc w przypadku kwadratu.
dowód lematu: później, albo jako osobne zadanie
lemat: ze wszystkich trójkątów o tej samej podstawie i równym polu, najmniejszy obwód ma trójkat równoramienny.
rozważmy nasz czworokąt i jedną z jego przekątnych. dzieli ona wielokąt na dwa trójkąty - na podstawie lematu, nie zmieniając pola tych trójkątów, mogę zamienić je na trójkąty równoramienne, które za podstawę mają naszą przekątną, a obwód tak powstałego czworokata zmaleje. czworokąt ten jest złożony z dwóch trójkatów równoramiennych o wspólnej podstawie, ale mogą one mieć różne boki. przekątne tego czworokąta są prostopadłe. bierzemy drugą przekątną nowego czworokąta i rozumujemy jak poprzednio - otrzymany teraz czworokąt jest już rombem. konstrukcja pokazała, że dla danego czworokąta wypukłego można wskazać romb o takim samym polu i obwodzie mniejszym od pola czworokąta. teraz uzasadnię, że ze wszystkich rombów o danym polu, najmniejszy obwód ma kwadrat. niech p i q będą połowami przekątnych rombu - jego pole P jest równe 2pq, a obwód wynosi \(\displaystyle{ L=4\sqrt{p^2+q^2}}\). zadanie sprowadza się do minimalizacji L przy założeniu 2pq=const. nierówność między średnią kwadratową, a geometryczną: \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{p^2+q^2}{2}}\geq\sqrt{pq}}\) mnożymy przez \(\displaystyle{ 4\sqrt{2}}\) i mamy: \(\displaystyle{ L\geq 4\sqrt{P}}\)=const. w tej nierówności może zachodzić równość! wtedy i tylko wtedy, gdy p=q, a więc w przypadku kwadratu.
dowód lematu: później, albo jako osobne zadanie