Okrąg przechodzący przez wierzchołek kąta ostrego rombu i wierzchołki kątków rozwartych tego rombu dzieli przekątną rombu na dwa odcinki długości 17 cm i 8 cm. Oblicz pole rombu
Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania i z góry dziękuję!
Romb i okrąg przechodzący przez 3 wierzchołki
-
jerzozwierz
- Użytkownik
- Posty: 526
- Rejestracja: 22 lut 2009, o 10:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 42 razy
Romb i okrąg przechodzący przez 3 wierzchołki
Doszedłem do czegoś takiego.
Połączenie twierdzenia sinusów i cosinusów.
\(\displaystyle{ 8,5=\frac{x}{2sin \alpha }= \sqrt{2 \cdot 8,5 ^{2}-2 \cdot 8,5 ^{2} \cdot cos2 \alpha }}\)
\(\displaystyle{ 72,25= \frac{x ^{2} }{4sin ^{2} \alpha }= 144,5-144,5(cos ^{2} \alpha - sin ^{2} \alpha)}\)
Na razie tyle. Chyba się nie pomyliłem.
Połączenie twierdzenia sinusów i cosinusów.
\(\displaystyle{ 8,5=\frac{x}{2sin \alpha }= \sqrt{2 \cdot 8,5 ^{2}-2 \cdot 8,5 ^{2} \cdot cos2 \alpha }}\)
\(\displaystyle{ 72,25= \frac{x ^{2} }{4sin ^{2} \alpha }= 144,5-144,5(cos ^{2} \alpha - sin ^{2} \alpha)}\)
Na razie tyle. Chyba się nie pomyliłem.
-
frej
Romb i okrąg przechodzący przez 3 wierzchołki
Druga przekątna wraz z bokami rombu tworzy trójkąt, na którym opisany jest ten okrąg. Jest on równoramienny, więc środek okręgu opisanego leży na dwusiecznej kąta między ramionami. Długość promienia wynosi więc \(\displaystyle{ \frac{17}{2}}\). Druga przekątna, tj. podstawa tego trójkąta, a w zasadzie jej połowa ma długość
\(\displaystyle{ \sqrt{\left(\frac{17}{2}\right)^2 - \left( \frac{17+8}{2}-\frac{17}{2}\right)^2}}\)
Wystarczy skorzystać z tw. Pitagorasa i tego, że przekątne rombu się połowią.
Mamy zatem pół podstawy, wysokość, więc teraz tylko tw. Pitagorasa i mamy bok rombu
Mam nadzieję, że dalej sobie poradzisz, a przede wszystkim, że nie okłamałem Cię tutaj za bardzo
\(\displaystyle{ \sqrt{\left(\frac{17}{2}\right)^2 - \left( \frac{17+8}{2}-\frac{17}{2}\right)^2}}\)
Wystarczy skorzystać z tw. Pitagorasa i tego, że przekątne rombu się połowią.
Mamy zatem pół podstawy, wysokość, więc teraz tylko tw. Pitagorasa i mamy bok rombu
Mam nadzieję, że dalej sobie poradzisz, a przede wszystkim, że nie okłamałem Cię tutaj za bardzo
-
jerzozwierz
- Użytkownik
- Posty: 526
- Rejestracja: 22 lut 2009, o 10:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 42 razy
Romb i okrąg przechodzący przez 3 wierzchołki
Idzie.
\(\displaystyle{ 72,25=144,5-144,5(cos ^{2} \alpha - sin ^{2} \alpha)}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}=1-(cos ^{2} \alpha - sin ^{2} \alpha)}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}=cos ^{2} \alpha - sin ^{2} \alpha}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{1}{2}=cos ^{2} \alpha - sin ^{2} \alpha \\ 1=cos ^{2} \alpha + sin ^{2} \alpha \end{cases}}\)
dodając stronami
\(\displaystyle{ 1 \frac{1}{2} = 2 \cdot cos ^{2} \alpha}\)
stąd
\(\displaystyle{ cos ^{2} \alpha = \frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \alpha =30 ^{o}}\)
wyliczamy z twierdzenia sinusów drugą przekątną
\(\displaystyle{ \frac{x}{sin30 ^{o} }=17}\)
\(\displaystyle{ x=8,5}\)
Czyli
\(\displaystyle{ P= \frac{8,5 \cdot 23}{2}}\)
\(\displaystyle{ P=97,75}\)
\(\displaystyle{ 72,25=144,5-144,5(cos ^{2} \alpha - sin ^{2} \alpha)}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}=1-(cos ^{2} \alpha - sin ^{2} \alpha)}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}=cos ^{2} \alpha - sin ^{2} \alpha}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{1}{2}=cos ^{2} \alpha - sin ^{2} \alpha \\ 1=cos ^{2} \alpha + sin ^{2} \alpha \end{cases}}\)
dodając stronami
\(\displaystyle{ 1 \frac{1}{2} = 2 \cdot cos ^{2} \alpha}\)
stąd
\(\displaystyle{ cos ^{2} \alpha = \frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \alpha =30 ^{o}}\)
wyliczamy z twierdzenia sinusów drugą przekątną
\(\displaystyle{ \frac{x}{sin30 ^{o} }=17}\)
\(\displaystyle{ x=8,5}\)
Czyli
\(\displaystyle{ P= \frac{8,5 \cdot 23}{2}}\)
\(\displaystyle{ P=97,75}\)