Trójkat prostokątny opisany na kole

[Mehow90]

Na kole o promieniu \(\displaystyle{ r}\) opisano trójkąt prostokątny, którego przy prostokątne mają długości \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\). Wyznacz \(\displaystyle{ y}\) jako funkcje \(\displaystyle{ x}\) i podaj jej dziedzinę.


Z góry dzięki za rozwiązanie

[enriqe]

\(\displaystyle{ tresc \ usunieta}\)

[Nakahed90]

enriqe to ostatnie przejście nie jest prawdziwe

[Justka]

trójkąt jest prostokątny więc przeciwprostokątna wynosi 2r.

Dlaczego?

[enriqe]

nie no myślałem, że to tak będzie wyglądało . ech zaraz to usówam (o takim czymś że w trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma 2r dowiedziałem się z jednego zadania na tym forum)

[Nakahed90]

Rzeczywiście przeciwprostokątna ma \(\displaystyle{ 2R}\), tylko, że R jest to promień okręgu opisanego, a nie wpisanego.

[Justka]

Ja proponowałabym skorzystać z takiego wzoru na długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny \(\displaystyle{ r=\frac{a+b-c}{2}}\), gdzie a,b przyprostokątne, c przeciwprostokątna.

W naszym wypadku \(\displaystyle{ r=\frac{x+y-\sqrt{x^2+y^2}}{2}}\)

I z tego wyznaczyć \(\displaystyle{ y}\) oraz dziedzinę.

[Marmon]

Justka w twoim rozwiązaniu pojawiają się kwadraty a ja zrobiłem to tak (może jest dobrze)

\(\displaystyle{ x+y=c+2r \Rightarrow c=x+y-2r}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}xy}\)
\(\displaystyle{ P=pr=\frac{1}{2}(x+y+x+y-2r)r}\)
Teraz porównuje pola

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}(x+y+x+y-2r)r}\)
i mam
\(\displaystyle{ y=\frac{2xr-2r^{2}}{x-2r}}\)
Na dziedzine założenia
\(\displaystyle{ x>0 \wedge x-2r>0 \wedge 2xr-2r^{2}>0}\)

[Justka]

Co do rozwiazania wyżej jest ok

Jeśli chodzi o mój sposób, to po przekształceniach wychodzi dokładnie taki sam wynik jak twój Więc oba sposoby są dobre.

[Mehow90]

czemu \(\displaystyle{ x+y=c+2r}\)?