trapez, przekatna trapezu,trojkat rownoramienny, 2kola stycz

[mixmix]

4 zadanka

1. Przekątna trapezu równoramiennego tworzy z dłuższą podstawą kat\(\displaystyle{ 2\alpha}\), a z ramieniem kąt \(\displaystyle{ \alpha}\). Wykaz, ze stosunek pól trójkątów, na które został podzielony trapez tą przekątną, jest równy \(\displaystyle{ k=\frac{sin5\alpha}{sin\alpha}}\)

2. W trójkąt równoramienny o ramieniu 10 i podstawie 12 wpisano prostokąt o stosunku boków 1:4 w ten sposób, że krótszy bok prostokąta jest zawarty w podstawie trójkąta. Oblicz długości boków prostokąta.

3. Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ \alpha , \beta}\) są kątami trójkata takimi, że \(\displaystyle{ \frac{sin\alpha}{cos\beta}=\frac{sin\beta}{cos\alpha}}\), to jest to trójkąt równoramienny lub prostokątny

4. Dane są 2 koła styczne zewnętrznie o promieniach R,r R>r i środkach \(\displaystyle{ S_{1},S_{2}}\). Do tych kół poprowadzono wspólna styczną. Oblicz pole trójkąta\(\displaystyle{ AOS_{1}}\), gdzie punkt A to punkt styczności z większym okręgiem \(\displaystyle{ S_{1}}\) - środek większego okręgu, O - punkt przecięcia się stycznej i prostej \(\displaystyle{ S_{1},S_{2}}\).-- 13 marca 2009, 18:08 --Proszę o pomoc!

[Justka]

1. Zakładamy, że jest to trapez ABCD, przekątna to \(\displaystyle{ |AC|=d}\) oraz ramiona \(\displaystyle{ |AD|=|BC|=a}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ \sphericalangle BAC=2\alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \sphericalangle CAD=\alpha}\), czyli \(\displaystyle{ \sphericalangle BCA=180-5\alpha}\)

Pola:
\(\displaystyle{ P_1=\frac{1}{2}|AD|\cdot |AC|\cdot sin\alpha=\frac{1}{2}adsin\alpha \\
P_2=\frac{1}{2}|AC|\cdot |BC|\cdot sin(180-\alpha)=\frac{1}{2}ad sin5\alpha}\)

A stosunek \(\displaystyle{ k=\frac{P_2}{P_1}=\frac{sin5\alpha}{sin\alpha}}\)

[mixmix]

Ok, rozumiem.