5 zadań z planimetrii

[dudigracz]

Mam prośbę o pomoc w 5 zadaniach:
1.Dany jest czworokąt ABCD. Sprawdź czy można na nim opisać krąg jeśli: AB=4, AD=6, DC=3, DAB=120 stopni, \(\displaystyle{ BC= \frac{3+ \sqrt{277} }{2}}\)
2.Trójkąt ABC o bokach długości 6,4,8 przekształcono przez jednokładność o środku A i skali 3 Oblicz pole obrazu po przekształceniu.
3.Przekątne równoległoboku przecinają się pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\) i mają długości 2a, 2b. Oblicz obwód i pole równoległoboku.
4.Dany jest trapez prostokątny ABCD o kącie prostym przy wierzchołkach A, D. Kąt rozwarty trapezu ma miarę 120 stopni ramię pochyłe ma długość 6, a krótsza podstawa 4. Wyznacz długość ramienia prostopadłego i drugiej podstawy, wiedząc, że w ten trapez można wpisać okrąg.
5.W trójkącie ABC dane są długości boków 3 i 4 oraz kąt między nimi równy 60 stopni Oblicz długość odcinka zawartego w dwusiecznej danego kąta i w danym trójkącie.

[jerzozwierz]

\(\displaystyle{ 1)}\)
Warunek jest spełniony, gdy kąt \(\displaystyle{ BCD}\) ma miarę \(\displaystyle{ 60 ^{o}}\).
Wiemy, że \(\displaystyle{ cos(180- \alpha) = cos \alpha}\). Tak więc z Twierdzenia Cosinusów liczymy:

\(\displaystyle{ \sqrt{4 ^{2}+6 ^{2}+2 \cdot 24 \cdot \frac{1}{2} }= \sqrt{3 ^{2}+ ( \frac{3+ \sqrt{277} }{2}) ^{2}-2 \cdot 3 \cdot ( \frac{3+ \sqrt{277} }{2}) \cdot \frac{1}{2} }}\)
\(\displaystyle{ L= \sqrt{84}}\)
\(\displaystyle{ P= \sqrt{9+ \frac{9+ 6\sqrt{277}+277 }{4}- \frac{18+6 \sqrt{277} }{4} }}\)
\(\displaystyle{ P= \sqrt{9+ \frac{277-9}{4} }}\)
\(\displaystyle{ P= \sqrt{76}}\)
\(\displaystyle{ L \neq P}\), więc kąt \(\displaystyle{ BCD}\) nie ma miary \(\displaystyle{ 60 ^{o}}\), czyli na tym czworokącie nie można opisać okręgu.

\(\displaystyle{ 2)}\)
Z Herona liczymy pole: \(\displaystyle{ \sqrt{9 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 3}= \sqrt{135}}\). Skoro skala była \(\displaystyle{ 3}\), to stosunek pól wynosi \(\displaystyle{ 9}\). Tak więc nowy trójkąt ma pole \(\displaystyle{ 9 \sqrt{135}}\).

\(\displaystyle{ 3)}\)
\(\displaystyle{ P=ab \cdot sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ l=2( \sqrt{a ^{2}+b ^{2}-2ab \cdot cos \alpha } )+2(\sqrt{a ^{2}+b ^{2}+2ab \cdot cos \alpha } )}\)

\(\displaystyle{ 4)}\)
wysokość ze wzoru na wys. trójkąta równobocznego
\(\displaystyle{ h= \frac{6 \sqrt{3} }{2}=3 \sqrt{3}}\)
skoro w ten trapez można wpisać okrąg, to \(\displaystyle{ |AB|+|CD|=|AD|+|BC|}\)
\(\displaystyle{ |BC|+|AD|=6+3 \sqrt{3}}\).

\(\displaystyle{ |AB|=6+3 \sqrt{3}-4}\)
\(\displaystyle{ |AB|=2+3 \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ 5)}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{2ab}{a+b} \cdot cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{24}{7} \cdot \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x=1 \frac{5}{7}}\)
To zadanie było na 1 etapie tegorocznej OM Gimnazjalistów Zacytuję:
W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) dwusieczna kąta \(\displaystyle{ ACB}\) przecina bok \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\).
Długosci boków \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ AC}\) sa równe odpowiednio \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), a długosc odcinka
\(\displaystyle{ CD}\) jest równa \(\displaystyle{ d}\). Wykaż, że

\(\displaystyle{ \frac{2ab}{a+b}<d}\)
Jeżeli potrzebujesz jeszcze wyprowadzenia tego wzoru, to napisz.

EDIT:
sory, w ostatnim zadaniu chodzi o cosinus kąta \(\displaystyle{ \frac{ \alpha }{2}}\). Ale to już sobie łatwo powinienieś zamienić.

[tryptofan91]

W pierwszym jest błąd, bo \(\displaystyle{ \sqrt{4 ^{2}+6 ^{2}+2 \cdot 24 \cdot \frac{1}{2} }}\) też równa się \(\displaystyle{ \sqrt{76}}\)