Okręgi, styczne [wykazać]

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 33 razy

Okręgi, styczne [wykazać]

Post autor: patry93 »

Witam.

Okręgi \(\displaystyle{ o_1 \ i \ o_2}\) przecinają się w punktach \(\displaystyle{ A \ i \ B}\). Punkt \(\displaystyle{ P}\) leży na prostej \(\displaystyle{ AB}\) i na zewnątrz obu okręgów. Przez punkt \(\displaystyle{ P}\) poprowadzono proste styczne do okręgów \(\displaystyle{ o_1 \ i \ o_2}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ C \ i \ D}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ PC=PD}\).

Proszę o podpowiedź.

Pozdrawiam, P.
frej

Okręgi, styczne [wykazać]

Post autor: frej »

Wydaje mi się, że wystarczy użyć potęgi punktu.
patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 33 razy

Okręgi, styczne [wykazać]

Post autor: patry93 »

Hm, troszkę o tym poczytałem i chyba faktycznie pójdzie, ale szukam raczej rozwiązania, gdzie nie trzeba korzystać z żadnych "nieszkolnych" twierdzeń
frej

Okręgi, styczne [wykazać]

Post autor: frej »

Pomyślę jeszcze chwilę, ale to zadanie aż prosi się o potęgę punktu, możesz ewentualnie w tym zadaniu udowodnić te twierdzenie, wystarczy trochę podobieństwa trójkątów zauważyć. Przykro mi, ale z geometrii jestem bardzo słaby, więc wątpię, że wymyślę coś innego, ale może ktoś inny przedstawi bardziej elementarne rozwiązanie
Awatar użytkownika
jerzozwierz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 526
Rejestracja: 22 lut 2009, o 10:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 42 razy

Okręgi, styczne [wykazać]

Post autor: jerzozwierz »

Może trzeba poprowadzić styczne do \(\displaystyle{ o _{1}}\) i \(\displaystyle{ o _{2}}\) przechodzące przez punkt \(\displaystyle{ P}\). Te punkty styczności oznaczyć np. \(\displaystyle{ A _{1}}\) i \(\displaystyle{ A _{2}}\) i udowodnić, że \(\displaystyle{ PA _{1}=PA _{2}}\). Chyba do zrobienia po "szkolnemu"
patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 33 razy

Okręgi, styczne [wykazać]

Post autor: patry93 »

frej - ok, no właśnie ze znalezieniem tego podobieństwa mam problem
jerzozwierz - jeśli dobrze zrozumiałem, to u Ciebie \(\displaystyle{ A_1 = C , \ A_2 = D}\), więc przepisałeś treść zadania
Awatar użytkownika
jerzozwierz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 526
Rejestracja: 22 lut 2009, o 10:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 42 razy

Okręgi, styczne [wykazać]

Post autor: jerzozwierz »

a, w zasadzie.. . xD Ja to zadanie zrobiłem potęgą punktu, ale te dwie styczne narysowałem jako te "dalsze". A potem wpadłem na to, że jakby były te "bliższe" to chyba łatwiej zrobić szkolnie ale to tylko moje spekulacje
frej

Okręgi, styczne [wykazać]

Post autor: frej »

patry93, dowód jest na wikipedii Tam możesz znaleźć to podobieństwo, którego szukasz.
ODPOWIEDZ