Okrąg wpisany w czworokąt

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Awatar użytkownika
doneczka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 8 mar 2009, o 21:51
Płeć: Kobieta

Okrąg wpisany w czworokąt

Post autor: doneczka »

Mam pytanie do dowodu twierdzenia:
Jeżeli sumy długości przeciwległych boków czworokąta są równe to w ten czworokąt można wpisać okrąg.

Dowód jest następujący:
Musimy wykazać, że dwusieczne katów wewnętrznych czworokąta przecinają się w jednym punkcie. Dla rombu to jest oczywiste bo dwusieczne pokrywają się z przekątnymi.
Załóżmy, więc że czworokąt nie jest rombem. Możemy wtedy przyjąć, ze AB > CB więc i AD > CD.
Na boku AB odkładamy odcinek \(\displaystyle{ A_{1} B= CB}\) a na boku AD odcinek \(\displaystyle{ A_{2}D=DC}\).
W ten sposób otrzymujemy trzy trójkąty równoramienne: \(\displaystyle{ A_{1}BC}\), \(\displaystyle{ A_{2}CD}\) i \(\displaystyle{ AA_{1}A_{2}}\)
\(\displaystyle{ A_{1}A_{2}}\) tez jest równoramienny bo z założenia AB - CB = AD - DC
wiec z wyboru \(\displaystyle{ A_{1}}\) i \(\displaystyle{ A_{2}}\) mamy, że \(\displaystyle{ AA_{1} = AB - CB}\) i \(\displaystyle{ AA_{2} = AD - DC}\)

Prowadzimy teraz dwusieczne kątów A, B i D. Ponieważ dwusieczna kąta między ramiona trójkąta równoramiennego zawiera się w symetralnej podstawy tego trójkąta to dwusieczne kątów A, B i D są symetralnymi boków trójkąta \(\displaystyle{ A_{1}A_{2}C}\). Symetralne te przecinają się w jednym punkcie który oznaczamy jako S.
Punkt S należy również do dwusiecznej kata C.
Odległości punktu S od każdego boku są takie same więc jest on środkiem okręgu wpisanego w ten czworokąt.

I moje pytanie jest takie: dlaczego S należy też do dwusiecznej kąta C?
Nie wiemy czy trójkąt \(\displaystyle{ A_{1}A_{2}C}\) jest trójkątem równoramiennym.

Bardzo proszę o pomoc i z góry dziękuję-- 11 mar 2009, o 15:52 --Sama już sobie odpowiedziałam na to pytanie Rozwiązanie jest bardzo proste wystarczy z punktu S poprowadzić do każdego boku czworokąta odcinki prostopadłe. Następnie skorzystać z tego, że jeżeli punkt leży na dwusiecznej kąta to jest tak samo odległy od obu ramion tego kąta. Korzystając z przechodniości dochodzimy do tego, że S jest tak samo odległy od boku BC i boku CD więc leży na tej dwusiecznej.
Koniec dowodu
ODPOWIEDZ