Trapez prostokątny opisany na okręgu

[marta147]

Na okręgu opisano trapez prostokątny. Odległość środka okręgu od końców ramienia pochyłego trapezu wynoszą odpowiednio 5 i 10. Oblicz pole trapezu.

[kakaona]

\(\displaystyle{ P=\frac{a+b}{2} *h}\)
Z tw. o czworokącie opisanym na okręgu mamy:
*) a+b=c+d
a - dł. dłuższej podstawy
b - dł. krótszej podstawy
c - dł. ramienia prostopadłego do podstaw, \(\displaystyle{ c=h=2r}\)
d - dł. ramienia pochyłego
najpierw należy udowodnić, że trójkąt o bokach 5,10,d jest prostokątny:
po dorysowaniu promieni do podstaw i ramienia pochyłego powstaną dwie pary trójkątów przystających,
ich przeciwprostokątne dzielą odpowiednie kąty na połowy czyli kąt przy podstawie a wynosi\(\displaystyle{ 2 \alpha}\) i kąt przy postawie b wynosi \(\displaystyle{ 2 \beta}\)
jak wiadomo suma miar kątów przy ramieniu trapezu wynosi \(\displaystyle{ 180^{0}}\) wiec
\(\displaystyle{ 2 \alpha + 2 \beta = 180^{0} \Leftrightarrow \alpha + \beta = 90^{0}}\)
czyli kąt między bokami 5 i 10 ma miarę \(\displaystyle{ 90^{0}}\)
teraz można obliczyć d z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ d = \sqrt{5^{2}+10^{2}} = 5 \sqrt{5}}\)
Pole trójkąta o bokach 5,10,d wynosi:
1)\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2} \sin \alpha * d * 10}\)
2)\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2} * r * d}\) (r jest wysokością tego trójkąta)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{5}{5 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}}\)
wracając do 1) \(\displaystyle{ P = \frac{1}{2} * \frac{\sqrt{5}}{5} * 5 \sqrt{5} * 10 = 25}\)
wracając do 2) \(\displaystyle{ 25 = \frac{1}{2} * r * 5 \sqrt{5} \Rightarrow r = 2 \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ h = 2r = 2 * 2 \sqrt{5} = 4 \sqrt{5}}\)
wracając do *) \(\displaystyle{ a + b = 4 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} = 9 \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ P_{trapezu} = \frac{9 \sqrt{5}}{2} * 4 \sqrt{5} = 90}\)