Prosta styczna do okręgu

[prs613]

Dla jakich wartości rzeczywistych parametru m, prosta o równaniu \(\displaystyle{ 3x+y-2m=0}\) jest styczna do okręgu opisanego równaniem \(\displaystyle{ x^2+y^2=16}\)

[Crizz]

Z równania prostej wyznaczasz y i wstawiasz do drugiego równania. Otrzymane równanie kwadratowe ze względu na x musi mieć dokładnie jedno rozwiązanie, czyli szukasz takich \(\displaystyle{ m}\), dla których wyróżnik tego równania jest równy zeru.

[kakaona]

możesz też skorzystać z odległości prostej stycznej od środka okręgu, która musi wynosić r:
\(\displaystyle{ d(S,k)=r \wedge S=(0,0) \wedge r=4 \wedge k: 3x+y-2m=0 \Rightarrow \frac{ \left|3*0+1*0-2m \right| }{\sqrt{3^{2}+1^{2}}}=4}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \left| -2m\right|=4\sqrt{10} \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ -2m=4\sqrt{10} \vee -2m=-4\sqrt{10} \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ m=-2\sqrt{10} \vee m=2\sqrt{10}}\)