Kwadrat o boku długosci \(\displaystyle{ \pi}\) rozcięto na dwa prostokąty, które po zwinieciu tworzą powierzchnię boczną walców o wysokości \(\displaystyle{ \pi}\). Jak należy dokonać cięcia, aby suma objetości tych walców była najmniejsza?
Wiem jaka odpowiedź jest prawidłowa, ale jak mam to obliczyć bez pochodnych? Proszę o pomoc
Rozcięcie kwadratu
-
piotrekgabriel
- Użytkownik
- Posty: 185
- Rejestracja: 20 lut 2009, o 17:28
- Płeć: Mężczyzna
- Pomógł: 35 razy
Rozcięcie kwadratu
Skoro pole kwadratu jest równe sumie pól dwóch prostokątów, to:
\(\displaystyle{ \pi^{2}=2\pi R_{1} H + 2\pi R_{2} H=2\pi^{2}(R_{1}+R_{2}) \Rightarrow R_{1}+R_{2}=\frac{1}{2}}\)
Suma objętości tych dwóch walców to \(\displaystyle{ V_{c}=\pi R_{1}^{2}H+\pi R_{2}^{2}H=\pi^{2}(R_{1}^{2}+R_{2}^{2})}\)
Podstawiamy tam \(\displaystyle{ R_{2}=\frac{1}{2}-R_{1}}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ V(R_{1})=\pi^{2}[R_{1}^{2}+(\frac{1}{2}-R_{1})^{2}]}\)
Ponieważ nie interesuje nas wartość funkcji sama w sobie, a jedynie argument, dla jakiego występuje, możemy olać \(\displaystyle{ \pi^{2}}\) i zbadać funkcję \(\displaystyle{ f(x)=2x^{2}-x+\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ a>0}\), więc ramiona są skierowane do góry. \(\displaystyle{ \delta<0}\), więc wykres funkcji nie przecina osi OX, leży w całości ponad nią. Musimy więc znaleźć wierzchołek, o równaniu \(\displaystyle{ p=\frac{-b}{2a}=\frac{1}{4}=R_{1}}\)
Stąd\(\displaystyle{ R_{2}=\frac{1}{2}-R_{1}=\frac{1}{4}}\), czyli \(\displaystyle{ R_{1}=R_{2}}\)
W zasadzie, powinniśmy jeszcze dodać założenia, wyliczyć dziediznę (suma promieni nie może przekroczyć pi, nie mogą być mniejsze ani równe 0, takie tam),
\(\displaystyle{ \pi^{2}=2\pi R_{1} H + 2\pi R_{2} H=2\pi^{2}(R_{1}+R_{2}) \Rightarrow R_{1}+R_{2}=\frac{1}{2}}\)
Suma objętości tych dwóch walców to \(\displaystyle{ V_{c}=\pi R_{1}^{2}H+\pi R_{2}^{2}H=\pi^{2}(R_{1}^{2}+R_{2}^{2})}\)
Podstawiamy tam \(\displaystyle{ R_{2}=\frac{1}{2}-R_{1}}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ V(R_{1})=\pi^{2}[R_{1}^{2}+(\frac{1}{2}-R_{1})^{2}]}\)
Ponieważ nie interesuje nas wartość funkcji sama w sobie, a jedynie argument, dla jakiego występuje, możemy olać \(\displaystyle{ \pi^{2}}\) i zbadać funkcję \(\displaystyle{ f(x)=2x^{2}-x+\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ a>0}\), więc ramiona są skierowane do góry. \(\displaystyle{ \delta<0}\), więc wykres funkcji nie przecina osi OX, leży w całości ponad nią. Musimy więc znaleźć wierzchołek, o równaniu \(\displaystyle{ p=\frac{-b}{2a}=\frac{1}{4}=R_{1}}\)
Stąd\(\displaystyle{ R_{2}=\frac{1}{2}-R_{1}=\frac{1}{4}}\), czyli \(\displaystyle{ R_{1}=R_{2}}\)
W zasadzie, powinniśmy jeszcze dodać założenia, wyliczyć dziediznę (suma promieni nie może przekroczyć pi, nie mogą być mniejsze ani równe 0, takie tam),