Przekątne kwadratu

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
krzysiu13
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 115
Rejestracja: 5 gru 2008, o 22:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 27 razy

Przekątne kwadratu

Post autor: krzysiu13 »

Zadanie 3

Przekątne AC i BD kwadratu ABCD przecinają się w punkcie O. Punkt M jest środkiem odcinka OD, N środkiem odcinka BC. Udowodnij, że trójkąt AMN jest prostokątny i równoramienny.

Z góry dziękuję
wb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3507
Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brodnica
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1260 razy

Przekątne kwadratu

Post autor: wb »

a - długość boku tego kwadratu.

Z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ |AM|^2=( \frac{1}{2}a\sqrt2)^2+( \frac{1}{4}a\sqrt2)^2 \\ ... \\ |AM|= \frac{a\sqrt{10}}{4} \\ \\ \\ |AN|^2=a^2+( \frac{1}{2}a )^2 \\ ... \\ |AN|= \frac{a\sqrt5}{2} \\ \\ \\ |MN|^2=( \frac{3}{4}a )^2+( \frac{1}{4}a )^2 \\ ... \\ |MN|=\frac{a\sqrt{10}}{4}}\)

Zatem |MN|=|AM|, więc trójkąta jest równoramienny.
Przy pomocy tw. odwrotnego do tw.Pitagorasa łatwo można sprawdzić, że jest to trójkąt prostokatny.
krzysiu13
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 115
Rejestracja: 5 gru 2008, o 22:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 27 razy

Przekątne kwadratu

Post autor: krzysiu13 »

Wielkie dzięki
ODPOWIEDZ