Zadanie 3
Przekątne AC i BD kwadratu ABCD przecinają się w punkcie O. Punkt M jest środkiem odcinka OD, N środkiem odcinka BC. Udowodnij, że trójkąt AMN jest prostokątny i równoramienny.
Z góry dziękuję
Przekątne kwadratu
-
- Użytkownik
- Posty: 3507
- Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1260 razy
Przekątne kwadratu
a - długość boku tego kwadratu.
Z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ |AM|^2=( \frac{1}{2}a\sqrt2)^2+( \frac{1}{4}a\sqrt2)^2 \\ ... \\ |AM|= \frac{a\sqrt{10}}{4} \\ \\ \\ |AN|^2=a^2+( \frac{1}{2}a )^2 \\ ... \\ |AN|= \frac{a\sqrt5}{2} \\ \\ \\ |MN|^2=( \frac{3}{4}a )^2+( \frac{1}{4}a )^2 \\ ... \\ |MN|=\frac{a\sqrt{10}}{4}}\)
Zatem |MN|=|AM|, więc trójkąta jest równoramienny.
Przy pomocy tw. odwrotnego do tw.Pitagorasa łatwo można sprawdzić, że jest to trójkąt prostokatny.
Z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ |AM|^2=( \frac{1}{2}a\sqrt2)^2+( \frac{1}{4}a\sqrt2)^2 \\ ... \\ |AM|= \frac{a\sqrt{10}}{4} \\ \\ \\ |AN|^2=a^2+( \frac{1}{2}a )^2 \\ ... \\ |AN|= \frac{a\sqrt5}{2} \\ \\ \\ |MN|^2=( \frac{3}{4}a )^2+( \frac{1}{4}a )^2 \\ ... \\ |MN|=\frac{a\sqrt{10}}{4}}\)
Zatem |MN|=|AM|, więc trójkąta jest równoramienny.
Przy pomocy tw. odwrotnego do tw.Pitagorasa łatwo można sprawdzić, że jest to trójkąt prostokatny.