długości łuków

[asiunia909]

oblicz długości łuków okręgu o promieniu długości R, na które dzieli ten okrąg cięciwa odległa od środka okręgu o \(\displaystyle{ \frac{R}{2}}\)

[Sherlock]

Kod: Zaznacz cały

http://odsiebie.com

Zauważ, mamy trójkąt równoramienny AOB, dzielimy go na dwa trójkąty prostokątne. Z funkcji trygonometrycznych policzymy kąt BOC:
\(\displaystyle{ cos \sphericalangle BOC= \frac{ \frac{R}{2} }{R}}\)
\(\displaystyle{ cos \sphericalangle BOC= \frac{1}{2}}\)
czyli \(\displaystyle{ \sphericalangle BOC=60^0}\) a cały kąt AOB ma miarę \(\displaystyle{ 120^0}\).
Cały okrąg ma obwód \(\displaystyle{ 2\pi R}\), my mamy łuk stanowiący \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) ( \(\displaystyle{ \frac{120^0}{360^0}}\)) obwodu czyli łuk wycinka ma długość \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\pi R}\) i pozostaje \(\displaystyle{ \frac{2}{3} \cdot 2 \pi R= \frac{4}{3} \pi R}\) dla dłuższego łuku.