pole części wpólnej
-
asiunia909
- Użytkownik
- Posty: 108
- Rejestracja: 14 wrz 2008, o 12:39
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: poznań
- Podziękował: 34 razy
pole części wpólnej
Dany jest kwadrat ABCD o boku a. Na przeciwległych bokach zbudowano trójkąty równoboczne ABN i CDM położone wewnątrz kwadratu. Oblicz pole wspólnej tych trójkątów.
-
piotrekgabriel
- Użytkownik
- Posty: 185
- Rejestracja: 20 lut 2009, o 17:28
- Płeć: Mężczyzna
- Pomógł: 35 razy
pole części wpólnej
\(\displaystyle{ H=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\
S=H-(a-H)=2H-a=a(\sqrt{3}-1)}\)
Szare pole składa się z dwóch trójkątów równobocznych o wysokości równej \(\displaystyle{ \frac{S}{2}}\)
Możemy teraz policzyć bok szarego trójkąta, potem jego pole, które trzeba będzie pomnożyć przez 2, albo policzyć pole wprost z wysokości:
\(\displaystyle{ H=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\H^{2}=\frac{3a^{2}}{4}\\ P=\frac{H^{2}}{\sqrt{3}}}\)
-
egregious
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 2 paź 2011, o 23:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gorzów Wlkp
pole części wpólnej
Witam
Robie dzisiaj te zadanie, i natknąłem sie na ten temat.
Namęczyłem sie z tym zadaniem, i czy mógłby ktoś je zwerifikować?
Przykładowo, A = 9, wtedy H = \(\displaystyle{ \frac{9 \sqrt{3}}{2}}\)
Dobry wynik wyszedł przy obliczaniu S, gdyż faktycznie \(\displaystyle{ S = a( \sqrt{3} -1)}\)
jednak idąc dalej tym tokiem, wynika nam że \(\displaystyle{ h = \frac{1}{2} S = \frac{a( \sqrt{3} -1)}{2}}\)
Wiemy że pole szare składa sie z dwóch trójkątów równobocznych czyli
z twierdzenia pitagorasa wynika że
\(\displaystyle{ z^{2} = ( \frac{1}{2} z) ^{2} + h ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{4} z ^{2} = h ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{4} z ^{2} = \frac{A( \sqrt{3} -1)}{2} * \frac{A( \sqrt{3} -1)}{2}}\)
\(\displaystyle{ z ^{2} = \frac{4}{3}( \frac{4A ^{2} -2A ^{2} \sqrt{3}}{4})}\)
\(\displaystyle{ z ^{2} = \frac{4A ^{2} -2A ^{2} \sqrt{3}}{3}}\)
\(\displaystyle{ z = \sqrt{\frac{4A ^{2} -2A ^{2} \sqrt{3}}{3}}}\)
\(\displaystyle{ z = \sqrt{\frac{2A ^{2}(2- \sqrt{3} }{3}}}\)
lub metodą prostrzą
\(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{2} = \frac{A( \sqrt{3} -1)}{2}}\)
\(\displaystyle{ a \sqrt{3} = A( \sqrt{3} -1) / *\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ 3a = 3A - A\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ a = A - \frac{1}{3} A \sqrt{3}}\)
Z tego wzoru wynika że pole tego zacieniowanego rombu wychodzi
\(\displaystyle{ P = \frac{A( \sqrt{3} -1)}{2} * \sqrt{\frac{2A ^{2}(2- \sqrt{3}) }{3}}}\)
zapewne da się to jakoś przekształcić ale jestem już zbyt zmeczony tym zadaniem i chcę odpocząć robiąc jakieś inne bo jeszcze cała noc liczenia przede mną
lub
\(\displaystyle{ P = \frac{A( \sqrt{3} -1)}{2} * (A - \frac{1}{3} A \sqrt{3})}\)
\(\displaystyle{ P = \frac{\frac{4}{3}A ^{2} \sqrt{3} - 2A ^{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ P = \frac{2}{3}A ^{2} \sqrt{3} - A ^{2}}}\)
\(\displaystyle{ P = A ^{2}(\frac{2}{3}\sqrt{3} - 1)}\)
Przy założeniu
\(\displaystyle{ A=9}\)
\(\displaystyle{ H \approx 7,794229}\)
\(\displaystyle{ s \approx 6,588457}\)
\(\displaystyle{ h \approx 3,294228}\)
\(\displaystyle{ a \approx 3,803847}\)
\(\displaystyle{ P \approx 12,53074}\)
Mógłby ktos zweryfikować moje rozwiązanie?
Robie dzisiaj te zadanie, i natknąłem sie na ten temat.
Namęczyłem sie z tym zadaniem, i czy mógłby ktoś je zwerifikować?
Przykładowo, A = 9, wtedy H = \(\displaystyle{ \frac{9 \sqrt{3}}{2}}\)
Dobry wynik wyszedł przy obliczaniu S, gdyż faktycznie \(\displaystyle{ S = a( \sqrt{3} -1)}\)
jednak idąc dalej tym tokiem, wynika nam że \(\displaystyle{ h = \frac{1}{2} S = \frac{a( \sqrt{3} -1)}{2}}\)
Wiemy że pole szare składa sie z dwóch trójkątów równobocznych czyli
z twierdzenia pitagorasa wynika że
\(\displaystyle{ z^{2} = ( \frac{1}{2} z) ^{2} + h ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{4} z ^{2} = h ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{4} z ^{2} = \frac{A( \sqrt{3} -1)}{2} * \frac{A( \sqrt{3} -1)}{2}}\)
\(\displaystyle{ z ^{2} = \frac{4}{3}( \frac{4A ^{2} -2A ^{2} \sqrt{3}}{4})}\)
\(\displaystyle{ z ^{2} = \frac{4A ^{2} -2A ^{2} \sqrt{3}}{3}}\)
\(\displaystyle{ z = \sqrt{\frac{4A ^{2} -2A ^{2} \sqrt{3}}{3}}}\)
\(\displaystyle{ z = \sqrt{\frac{2A ^{2}(2- \sqrt{3} }{3}}}\)
lub metodą prostrzą
\(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{2} = \frac{A( \sqrt{3} -1)}{2}}\)
\(\displaystyle{ a \sqrt{3} = A( \sqrt{3} -1) / *\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ 3a = 3A - A\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ a = A - \frac{1}{3} A \sqrt{3}}\)
Z tego wzoru wynika że pole tego zacieniowanego rombu wychodzi
\(\displaystyle{ P = \frac{A( \sqrt{3} -1)}{2} * \sqrt{\frac{2A ^{2}(2- \sqrt{3}) }{3}}}\)
zapewne da się to jakoś przekształcić ale jestem już zbyt zmeczony tym zadaniem i chcę odpocząć robiąc jakieś inne bo jeszcze cała noc liczenia przede mną
lub
\(\displaystyle{ P = \frac{A( \sqrt{3} -1)}{2} * (A - \frac{1}{3} A \sqrt{3})}\)
\(\displaystyle{ P = \frac{\frac{4}{3}A ^{2} \sqrt{3} - 2A ^{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ P = \frac{2}{3}A ^{2} \sqrt{3} - A ^{2}}}\)
\(\displaystyle{ P = A ^{2}(\frac{2}{3}\sqrt{3} - 1)}\)
Przy założeniu
\(\displaystyle{ A=9}\)
\(\displaystyle{ H \approx 7,794229}\)
\(\displaystyle{ s \approx 6,588457}\)
\(\displaystyle{ h \approx 3,294228}\)
\(\displaystyle{ a \approx 3,803847}\)
\(\displaystyle{ P \approx 12,53074}\)
Mógłby ktos zweryfikować moje rozwiązanie?