Maksymalne pole czworokąta

onlyxme · Post autor: **onlyxme** » 23 lut 2009, o 22:17

Prosiłabym o pomoc z tym zadaniem, bo próbuje go jakoś zrobić, ale nic ciekawego mi nie wychodzi. Prościej by było z dokładnie określoną figurą, no ale cóż.... Z góry dziękuję za każdą pomoc

Jakie maksymalne pole może mieć czworokąt o kolejnych bokach długości 1 cm, 5 cm, 5cm i 7 cm?

MagdaW · Post autor: **MagdaW** » 23 lut 2009, o 22:34

Największe pole będzie wtedy, gdy w czworokącie będą dwa kąty proste- kąty proste będą leżały przy bokach odpowiednio 5 i 5 oraz 1 i 7. Maksymalne pole wyniesie \(\displaystyle{ 26cm ^{2}}\).

onlyxme · Post autor: **onlyxme** » 24 lut 2009, o 15:11

A jak do tego dojść że to akurat tak ma być, bo metoda prób i błędów to raczej nie wyjdzie. Jest na to jakaś reguła ?

MagdaW · Post autor: **MagdaW** » 24 lut 2009, o 16:28

Trójkąt o danych dwóch bokach ma największe pole, gdy kąt między nimi będzie prosty (dowód jest dosyć prosty, jeśli chcesz to napiszę). Trzeba tak dopasować te dane 4 długości, aby były 2 kąty proste i żeby zgadzała się długość wspólnej przekątnej. To jest spełnione właśnie w sytuacji opisanej przeze mnie.

onlyxme · Post autor: **onlyxme** » 24 lut 2009, o 21:09

Bardzo byś pomogła gdybyś napisała ten dowód.

miki999 · Post autor: **miki999** » 24 lut 2009, o 21:25

Pole trójkąta:
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin \gamma}\)
Tyle chyba wystarczy

Pozdrawiam.

MrMath · Post autor: **MrMath** » 16 gru 2013, o 21:55

MagdaW pisze:Największe pole będzie wtedy, gdy w czworokącie będą dwa kąty proste- kąty proste będą leżały przy bokach odpowiednio 5 i 5 oraz 1 i 7. Maksymalne pole wyniesie \(\displaystyle{ 26cm ^{2}}\).

Literówka się wkradła. Oczywiście chodzi o pole wielkości \(\displaystyle{ 16 cm^{2}}\).
Nie o tym jednak.
Największe pole można uzyskać budując również czworokąt, którego żaden kąt nie jest prostym.
Zastanawiam się zatem nad ogólniejszą metodą rozwiązania tego zadania.

marcel112 · Post autor: **marcel112** » 17 gru 2013, o 19:58

można też skorzystać z tego, że jeśli w czworokąt można wpisać w okrąg to jego pole wyraża się wzorem \(\displaystyle{ S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}\) gdzie \(\displaystyle{ p=\frac{a+b+c+d}{2}}\) skąd \(\displaystyle{ S=16}\)

MrMath · Post autor: **MrMath** » 20 gru 2013, o 21:52

Dziękuję marcel112!
Twoja podpowiedź okazała się kluczowa.
Twierdzenie Bretschneidera wyczerpuje temat. Pozwala obliczyć pole czworokąta z długości jego boków i kątów. Przy czym pole będzie największe, gdy suma przeciwległych kątów będzie równa 180st.
Pozdrawiam