Trapez opisany na okręgu

[prs613]

Na okręgu o promieniu r opisano trapez równoramienny \(\displaystyle{ ABCD}\) o dłuższej podstawie \(\displaystyle{ AB}\) i krótszej \(\displaystyle{ CD}\). Punkt styczności \(\displaystyle{ S}\) dzieli ramię \(\displaystyle{ BC}\) tak, że \(\displaystyle{ \frac{|CS|}{|SB|}=\frac{2}{5}}\).
a) Wyznacz długość ramienia tego trapezu.
b) Oblicz cosinus \(\displaystyle{ | \angle CBD |}\)

[wb]

Oznaczenia:
E - punkt styczności okręgu z podstawą AB,
f - punkt styczności okręgu z podstawą CD,
|CC'|=h=2r - wysokość trapezu,
O - środek okręgu,
a - długość podstawy AB,
b - długość podstawy CD.
2x - długość odcinka CS,
5x - długość odcinka BS.

Z przystawania trójkątów BEO i BOS:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}a =5x}\)

Z przystawania trójkątów CFO i COS:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}b =2x}\).

Ponieważ trapez jest równoramienny więc:
\(\displaystyle{ |C'B|= \frac{a-b}{2}= \frac{a}{2}- \frac{b}{2}=5x-2x=3x}\)

Z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ (2r)^2+(3x)^2=(7x)^2}\)

Stąd łatwo policzyć x a następnie ramię, czyli 7x.

W b) skorzystaj z tw. cosinusów dla trójkąta DBC, wcześnie z tw. Pitagorasa licząc długość BD.

[kubakubala]

Z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ (2r)^2+(3x)^2=(7x)^2}\)

Stąd łatwo policzyć x a następnie ramię, czyli 7x.

Hmm... Ja się nad tym zadaniem głowię już godzinkę, z tym, że jakieś 50-55 min. szukam drugiego równania Tzn. że wynik będzie z niewiadomą?

Po uproszczeniu wygląda to tak: \(\displaystyle{ 10x^2=r^2}\)