okrąg opisany na kwadracie

justyska70 · Post autor: **justyska70** » 18 lut 2009, o 21:10

Punkt P należy do okręgu opisanego na kwadracie ABCD. Wykaż, że wartość wyrażenia
\(\displaystyle{ |PA|^2+|PB|^2+|PC|^2+|PD|^2}\) nie zależy od wyboru punktu P na okręgu.

Justka · Post autor: **Justka** » 18 lut 2009, o 22:08

Załóżmy, że punkt P leży na okręgu pomiędzy punktem B i C. Wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ |PA|}\) i \(\displaystyle{ |PC|}\) to przyprostokątne trójkąta prostokątnego, którego przeciwprostokątna jest średnicą okręgu, to samo można powiedzieć o odcinkach \(\displaystyle{ |PB|}\) i \(\displaystyle{ |PD|}\). Niezależnie od tego w którym miejscu będzie znajdował się punkt P możemy "dobrać" do niego odpowiednie przyprostokątne.

: AU; 14l6i5k.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 87 razy

Zatem wartość tego wyrażenia jest równa \(\displaystyle{ |PA|^2+|PB|^2+|PC|^2+|PD|^2=8r^2}\) i nie zależy od wyboru punktu P na okręgu.