Dwa okręgi o środkach S1 i S2, długośc promienia.

[skowron6]

Dwa okręgi o środkach S1 i S2 przecinają się w punktach A i B, przy czym punkty S1 i S2 leża po przeciwnych stronach prostej AB. Miary kątów AS1B i AS2B wynoszą odpowiednio 90 i 60 stopni. Wyznacz długości promieni, wiedząc, że |S1S2|=a


Niby mam pomysł, ale nie wychodzi mi wynik jak w odpowiedziach.

Bo wychodzi z tego trójkąt (mi) trójkąt o bokach, r,R,a oraz kątach 105,45,30...Bo prosta S1S2 to dwusieczna kątów 90 i 60?, pozatym chyba zachodzi podobienstwo BKB, bo z rysunku łącząc promienie wychodzi jakiś latawiec, a prosta o wartosci "a" dzieli go na dwa trójkąty o takich samych bokach i kącie jednym....

Powiedzcie czy mam sluszność w swych domysłach, bo jak tak to w odpowiedziach chyba mają źle.

[florek177]

Przez punkty przecięcia okręgów prowadzimy cięciwę, która na prostej s1,s2 wyznacza punkt O.
Okręgi przecinają s1,s2 w punktach A, B.
Oznaczam: s1,A - x; A,O - y, B,s2 - z. R - promień s1.
Z pitagorasa: \(\displaystyle{ \,\,\, R^{2} = 2 \, (x +y)^{2} \,\,\,}\) --> \(\displaystyle{ R = \sqrt{2} \, ( x + y )}\);
ponadto, z drugiego trójkąta:
\(\displaystyle{ \frac{a - (x + y )}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2} \,\,\,}\) --> \(\displaystyle{ ( x + y ) = \frac{r}{2} \,\,\,}\) --> co daje \(\displaystyle{ \,\,\, R = \frac{\sqrt{2}}{2} \, r}\);
Podstawiam do drugiego równania:
\(\displaystyle{ \frac{a - \frac{r}{2} }{r} = \frac{\sqrt{3}}{2} \,\,\,}\) --> \(\displaystyle{ r = \frac{2 \, a}{\sqrt{3} + 1}}\);

ale nie sprawdzałem