Obwod czworokata

franticneo · Post autor: **franticneo** » 17 lut 2009, o 13:03

Przekątna BD czworokąta ABCD dzieli go na trójkąt prostokątny równoramienny i trójkt równoboczny. Oblicz obwód tego czworokąta, jeśli wiadomo, że jego pole jest równe \(\displaystyle{ 4( \sqrt{3}+1)}\).

kaszubki · Post autor: **kaszubki** » 17 lut 2009, o 13:14

Oznaczmy przez a długość przekątnej. Wtedy pole trójkąta równobocznego wyniesie \(\displaystyle{ \frac{a^{2} \sqrt{3} }{4}}\). Trójkąt prostokątny równoramienny wygląda tak, że przekątna jest przeciwprostokątną. Pole tego trójkąta wyniesie \(\displaystyle{ \frac{ a ^{2}}{4}}\), a pole całego czworokąta wyniesie \(\displaystyle{ \frac{ a ^{2}}{4} * ( \sqrt{3}+1) =4( \sqrt{3}+1) \Rightarrow \frac{ a ^{2}}{4} = 4 \Rightarrow a ^{2}=16 \Rightarrow a=4}\), więc obwód czworokąta wyniesie \(\displaystyle{ 2*4 + \frac{\sqrt{2}}{2}*4*2=8*(1+\frac{\sqrt{2}}{2})}\).

angel-of-fate · Post autor: **angel-of-fate** » 17 lut 2009, o 13:45

\(\displaystyle{ 4 \sqrt{2}+8}\)

kaszubki · Post autor: **kaszubki** » 17 lut 2009, o 13:53

Owszem, coś poknociłeś :p