oblicz promień

[ania555]

W trapezie równoramiennym o podstawach długości 3 cm i 7 cm wpisano okrąg. Oblicz promień tego okręgu. (odp.\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) \(\displaystyle{ \sqrt{21}}\))

[sea_of_tears]

\(\displaystyle{ r=\frac{1}{2}h\newline
\newline
c+c=7+3\newline
2c=10\newline
c=5\newline
\newline
x=\frac{7-3}{2}=\frac{4}{2}=2\newline
x^2+h^2=c^2\newline
2^2+h^2=5^2\newline
4+h^2=25\newline
h^2=21\newline
h=\sqrt{21}\newline
r=\frac{1}{2}\sqrt{21}}\)

[Poodzian]

Z rysunku widać, że promień okręgu to po prostu połowa wysokości danego trapezu
Należy więc dążyć do jej wyznaczenia

Zaczynamy od własności czworokąta opisanego na okręgu - sumy dwóch przeciwległych boków są sobie równe (niech ramiona oznaczone będą jako \(\displaystyle{ x}\))
Wobec powyższego: \(\displaystyle{ x+x=3+7}\), ostatecznie \(\displaystyle{ x=5}\)

Teraz prowadzimy dwie wysokości trapezu wychodzące z końców odcinka stanowiącego krótszą z podstaw naszego czworokąta - podzieliły one dłuższą podstawę na trzy części - jedną o długości krótszej podstawy \(\displaystyle{ 3}\) i dwie równe sobie, których suma to \(\displaystyle{ 7-3=4}\), a co za tym idzie \(\displaystyle{ 2}\) każda

I teraz z własności trójkąta prostokątnego
\(\displaystyle{ x^2=2^2+h^2}\), czyli \(\displaystyle{ h^2=21}\) i \(\displaystyle{ h=\sqrt{21}}\)
Skoro szukany promień to połowa wysokości, ostatecznie \(\displaystyle{ r=\frac{\sqrt{21}}{2}}\)