W trapezie o polu P stosunek długości podstaw jest równy k > 1. Oblicz pola dwóch trójkątów, na które ten trapez dzieli jego przekątna.
Bede wdzieczny za pomoc, rozwiazanie bardzo pilne dla mnie...
Trapez o polu P
-
szymek12
- Użytkownik
- Posty: 659
- Rejestracja: 24 kwie 2008, o 20:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Strzyżów
- Podziękował: 136 razy
- Pomógł: 54 razy
Trapez o polu P
Niech \(\displaystyle{ a}\),\(\displaystyle{ b}\) - długości podstaw trapezu
\(\displaystyle{ S _{1}}\), \(\displaystyle{ S _{2}}\) - pola trójkątów na jakie trapez dzieli przekątna
Wiadomo, że: \(\displaystyle{ \frac{a}{b}=k>1}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \cdot h(a+b)}\), gdzie \(\displaystyle{ h}\) - wysokość trapezu
\(\displaystyle{ S _{1}= \frac{1}{2}ah}\) , czyli \(\displaystyle{ S _{1}= P-\frac{1}{2}bh}\)
\(\displaystyle{ S _{2}= \frac{1}{2}bh}\) , czyli \(\displaystyle{ S _{2}= P-\frac{1}{2}ah}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \frac{a}{b}=k \wedge b \neq 0}\), stąd \(\displaystyle{ a=bk}\)(1)
Korzystając z (1) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \cdot h(a+b)=\frac{1}{2} \cdot h(bk+b)=\frac{1}{2} \cdot bh(k+1)=S _{2} \cdot (k+1) \Rightarrow S _{2}= \frac{P}{k+1}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ S _{2}= \frac{P}{k+1}}\) oraz \(\displaystyle{ S _{1}=P-S _{2}}\), stąd
\(\displaystyle{ S _{1}= \frac{1}{2}bh(k+1)- \frac{1}{2}bh= \frac{1}{2}bh \cdot k=S _{2} \cdot k= \frac{P}{k+1} \cdot k= \frac{kP}{k+1}}\)
\(\displaystyle{ S _{1}}\), \(\displaystyle{ S _{2}}\) - pola trójkątów na jakie trapez dzieli przekątna
Wiadomo, że: \(\displaystyle{ \frac{a}{b}=k>1}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \cdot h(a+b)}\), gdzie \(\displaystyle{ h}\) - wysokość trapezu
\(\displaystyle{ S _{1}= \frac{1}{2}ah}\) , czyli \(\displaystyle{ S _{1}= P-\frac{1}{2}bh}\)
\(\displaystyle{ S _{2}= \frac{1}{2}bh}\) , czyli \(\displaystyle{ S _{2}= P-\frac{1}{2}ah}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \frac{a}{b}=k \wedge b \neq 0}\), stąd \(\displaystyle{ a=bk}\)(1)
Korzystając z (1) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \cdot h(a+b)=\frac{1}{2} \cdot h(bk+b)=\frac{1}{2} \cdot bh(k+1)=S _{2} \cdot (k+1) \Rightarrow S _{2}= \frac{P}{k+1}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ S _{2}= \frac{P}{k+1}}\) oraz \(\displaystyle{ S _{1}=P-S _{2}}\), stąd
\(\displaystyle{ S _{1}= \frac{1}{2}bh(k+1)- \frac{1}{2}bh= \frac{1}{2}bh \cdot k=S _{2} \cdot k= \frac{P}{k+1} \cdot k= \frac{kP}{k+1}}\)