Udowodnij twierdzenie o rownolegloboku

[Adamusos]

Udowodnij twierdzenie: " W rownolegloboku suma kwadratow dlugosci przekatynych rowna sie podwojonej sumie kwadratow dlugosci jego bokow"

[Justka]

Z rysunku \(\displaystyle{ |AC|=f \wedge |BD|=e}\), zatem:
\(\displaystyle{ \begin{cases} h^2+x^2=b^2 \\ h^2+(a-x)^2=e^2 \\ h^2+(a+x)^2=f^2 \end{cases} \ \Rightarrow \ 2a^2+2b^2=e^2+f^2}\)

[marcinn12]

Można też z twierdzenia cosinusów...
\(\displaystyle{ a,b}\)-długości boków równoległoboku
\(\displaystyle{ c,d}\)-długości przekątnych
\(\displaystyle{ \alpha,\beta}\) - kolejne kąty równoległoboku
\(\displaystyle{ \alpha+\beta=180}\)
\(\displaystyle{ \beta=180-\alpha}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abos\alpha \\ d^{2}=a^{2}+b^{2}+2abcos(180-\alpha )\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos\alpha \\ d^{2}=a^{2}+b^{2}+2abcos\alpha \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ c^{2}+d^{2}=2a^{2}+2b^{2}}\)

Jest jeszcze dwa sposoby: wektorowo i w układzie współrzędnych. Wpisz w google: 3097507