Prostokąt - dowód
Prostokąt - dowód
Punkt M leży wewnątrz prostokąta ABCD. Udowodnij, że \(\displaystyle{ |AM|^{2}}\) + \(\displaystyle{ |CM|^{2}}\) = \(\displaystyle{ |BM|^{2}}\) + \(\displaystyle{ |DM|^{2}}\)
Proszę o pomoc
-
Morgus
- Użytkownik
- Posty: 224
- Rejestracja: 28 sty 2007, o 10:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin/Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 55 razy
Prostokąt - dowód
Niech punkt E leży na boku AB w taki sposób, aby AB i EM były prostopadłe.
Niech punkt F leży na boku BC w taki sposób, aby BC i FM były prostopadłe.
Niech punkt G leży na boku CD w taki sposób, aby CD i GM były prostopadłe.
Wówczas:
\(\displaystyle{ AE=DG}\)
\(\displaystyle{ CF=GM}\)
\(\displaystyle{ FM=BE}\)
\(\displaystyle{ L=AM^{2} + CM^{2} = AE^{2}+EM^{2}+CF^{2}+FM^{2}=AE^{2}+CF^{2}+EM^{2}+FM^{2}=DG^{2}+GM^{2}+EM^{2}+BE^{2}=DM^{2}+BM^{2}=P}\)
Niech punkt F leży na boku BC w taki sposób, aby BC i FM były prostopadłe.
Niech punkt G leży na boku CD w taki sposób, aby CD i GM były prostopadłe.
Wówczas:
\(\displaystyle{ AE=DG}\)
\(\displaystyle{ CF=GM}\)
\(\displaystyle{ FM=BE}\)
\(\displaystyle{ L=AM^{2} + CM^{2} = AE^{2}+EM^{2}+CF^{2}+FM^{2}=AE^{2}+CF^{2}+EM^{2}+FM^{2}=DG^{2}+GM^{2}+EM^{2}+BE^{2}=DM^{2}+BM^{2}=P}\)