Operon- Zbiór Maturalny dwa zadania [poziom podst.]

rrozz · Post autor: **rrozz** » 10 lut 2009, o 14:50

1. Dany jest trójkąt równoboczny o boku a. Narysowano koło o średnicy, która jest wysokością trójkąta. Oblicz pole figury będącej częścią wspólną koła i trójkąta. (potrzebuje wiedzieć od początku do końca, nawet nie wiem od czego zacząć).

2. Wykaż, że jeżeli długość wysokości trójkąta prostokątnego opuszczonej na przeciwprostokątną oraz długość a i b dwóch przyprostokątnych tworzą ciąg geometryczny, to \(\displaystyle{ b ^{2}= ac}\), gdzie \(\displaystyle{ c}\) jest przeciwprostokątną w tym trójkącie.

Ad.2. Wiem ze w drugim trzeba wyjsc z pol oraz z zależnosci, że kwadrat wyrazu srodkowego rowna sie iloczynowi wyrazów skrajnych w ciągu geometrycznym. Jednakże nie powiezdiano mi w zadaniu, które boki trojkąta są wyrazem pierwszym, ktore wyrazem drugim, a ktore trzecim ciągu geometrycznego... Wiec gdy przyjme \(\displaystyle{ b ^{2} = ah}\)... nie wychodzi.

Matematyca · Post autor: **Matematyca** » 10 lut 2009, o 17:22

Zad. 1.
Zrób rysunek. Środek S okręgu będzie znajdował się na środku wysokości trójkąta ABC, w taki sposób, że okrąg bedzie przechodził przez punkt C i przecinał ramiona AC i BC odpowiednio w punktach E i F. Promień r tego okręgu będzie równy \(\displaystyle{ r= \frac{a \sqrt{3} }{4}}\)
Również ES=FS=r.
Wtedy z twierdzenia o kątach opartych na tym samym łuku:
kąt ESF= 2* kąt ECF
kąt ESF=120
Teraz pole wspólne można obliczyc przez dadanie do siebie pól dwóch trójkątów ESC i CSF oraz pola wycinka kołowego.
\(\displaystyle{ P= 2* (\frac{1}{2} * (\frac{a \sqrt{3} }{4})^2 sin120) + \frac{120}{360} \pi \frac{a \sqrt{3} }{2}}\)
Wykorzystałam wzór na pole trójkąta: P=0,5* ramię* ramię * sin kąta między nimi.

-- 10 lut 2009, o 17:34 --

zad 2. z treści wynika, że ciąg ma posta (h, a, b)
wysokośc - h
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}ch \\
P= \frac{1}{2} ab \\
ch=ab\\
h= \frac{ab}{c}}\)
Z własności ciągu geometrycznego wynika, że:
\(\displaystyle{ \frac{a}{ \frac{ab}{c} }= \frac{b}{a} \\
\frac{c}{b} = \frac{b}{a}\\
b^2=ac}\)
cbdo.

rrozz · Post autor: **rrozz** » 10 lut 2009, o 18:49

Czy tam na końcu wzoru nie powinno być \(\displaystyle{ r ^{2} czyli \left( \frac{a \sqrt{3} }{4} \right) ^{2}}\)

Matematyca · Post autor: **Matematyca** » 10 lut 2009, o 18:59

Tak, powinno byc, sorki

rrozz · Post autor: **rrozz** » 10 lut 2009, o 19:32

Matematyca pisze: z treści wynika, że ciąg ma posta (h, a, b)

Skąd wiesz ze wyrazy ciągu ułożone są w taki sposób? Dlaczego nie mogą być ułożone w ten sposób: (h, b, a). Nie widze tego w treści zadania, wytłumacz.

Matematyca · Post autor: **Matematyca** » 10 lut 2009, o 19:51

rrozz pisze:długość wysokości trójkąta prostokątnego opuszczonej na przeciwprostokątną oraz długość a i b dwóch przyprostokątnych tworzą ciąg geometryczny.

rrozz · Post autor: **rrozz** » 10 lut 2009, o 20:36

Matematyca pisze:
rrozz pisze:długość wysokości trójkąta prostokątnego opuszczonej na przeciwprostokątną oraz długość a i b dwóch przyprostokątnych tworzą ciąg geometryczny.

To świadczy o tym że są ułożone tak:
\(\displaystyle{ a_{1} = h}\)
\(\displaystyle{ a _{2}= a}\)
\(\displaystyle{ a _{3}= b}\)
a dlaczego nie odwrotnie? O tak...
\(\displaystyle{ a_{1} = h}\)
\(\displaystyle{ a _{2}= b}\)
\(\displaystyle{ a _{3}= a}\)

To zmienia postać rzeczy jak są ułożone bo nie będzie zależności: \(\displaystyle{ a ^{2}=bh}\) tylko \(\displaystyle{ b ^{2} = ah}\) i w efekcie inne końcowe wyniki.

Matematyca · Post autor: **Matematyca** » 10 lut 2009, o 21:08

Wydaję mi się, że gdyby kolejnośc liczb podana w zadaniu nie byłaby ważna to całe zadanie straciłoby sens. Wtedy należałoby rozpatrzyc aż 6 przypadków i za każdym razem wynik byłby inny

rrozz · Post autor: **rrozz** » 10 lut 2009, o 21:26

Tylko że wysokość wydaje się być zawsze najmniejsza... tak na logikę... ale nie potrafię tego uzasadnić, dzięki za pomoc, szczególnie z tym pierwszym zadaniem... nie wpadłbym na to.