oblicz pole figury
-
moja-matematyka2009
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 9 lut 2009, o 15:43
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 13 razy
oblicz pole figury
W trapezie ABCD (AB || CD). |AB|>|CD|) dwusieczna kąta wewnętrznego o wierchołku B jest prostopadła do ramienia AD trapezu i dzieli je w stosunku 2:1, licząc od wierchołka A. Oblicz stosunek pola trójkąta, powstałego w wyniku podziału trapezu przez tę dwusieczną, do pola powstałego czworokąta.
-
florek177
- Użytkownik
- Posty: 3018
- Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 322 razy
oblicz pole figury
Kąt podzielony dwusieczną \(\displaystyle{ \,\,\, d \,\,\,\,}\) - \(\displaystyle{ \,\,\, 2 \, \alpha \,\,}\) ; bok prostopadły : \(\displaystyle{ \,\, c \,\,}\);
Podstawę dolną dzielą wysokości na odcinki: \(\displaystyle{ x \,\,}\) ; \(\displaystyle{ \,\, b \,\,}\) ; \(\displaystyle{ \,\, y \,\,}\);
Pole trapezu: \(\displaystyle{ \,\, P_{T} = \frac{1}{2}\, ( a + b )\, h \,\,\,}\) ; gdzie: \(\displaystyle{ \,\,\, b = a - ( x + y )}\);
Pole trójkąta: \(\displaystyle{ P_{\Delta} \,\, = \frac{1}{2} \, \frac{2}{3} \, c \cdot d \, = \frac{1}{3} \, c \cdot d \,}\)
Szukany stosunek pól: \(\displaystyle{ \frac{P_{cz}}{P_{\Delta}} = \frac{P_{T} - P_{\Delta}}{P_{\Delta}} = \frac{P_{T}}{P_{\Delta}} - 1}\)
Mamy: \(\displaystyle{ x = c \cdot sin(\alpha) \,\,\,\,}\) ; \(\displaystyle{ \,\,\, h = c \cdot cos(\alpha) \,\,\,}\) ; \(\displaystyle{ a = \frac{2 \, c}{3 \, sin(\alpha)} \,\,\,}\) ; \(\displaystyle{ \,\, h = y \cdot tg(2 \, \alpha) \,\, --> \,\,\, y = \frac{c \cdot cos(\alpha)}{tg(2 \, \alpha)} \,\,\,}\) ; \(\displaystyle{ d = a \cdot cos(\alpha ) = \frac{2 \, c \cdot cos(\alpha)}{3 \, sin(\alpha)}}\);
Dla uproszczenia rachunków obliczam: \(\displaystyle{ \,\, ( x + y ) = c \cdot sin(\alpha) + \frac{c \cdot cos(\alpha)}{tg(2 \, \alpha)}}\);
Sprowadzam do wspólnego mianownika, rozpisuję \(\displaystyle{ \,\, tg(2 \, \alpha) \,\,\,}\); redukcja i po kilku przekształceniach otrzymuję : \(\displaystyle{ \,\, ( x + y ) = \frac{c} {2 \, sin(\alpha)}}\);
\(\displaystyle{ P_{T} = \frac{5 \, c^{2} \cdot cos(\alpha)}{12 \, sin(\alpha)} \,\,\,}\) ; \(\displaystyle{ P_{\Delta} = \frac{2 \, c^{2} \cdot cos(\alpha)}{3 \, sin(\alpha)} \,\,\,}\) ; --> \(\displaystyle{ \,\,\, \frac{P_{cz}}{P_{\Delta}} = \frac{P_{T} - P_{\Delta}}{P_{\Delta}} = \frac{P_{T}}{P_{\Delta}} - 1 = \frac{21}{24}}\)
Podstawę dolną dzielą wysokości na odcinki: \(\displaystyle{ x \,\,}\) ; \(\displaystyle{ \,\, b \,\,}\) ; \(\displaystyle{ \,\, y \,\,}\);
Pole trapezu: \(\displaystyle{ \,\, P_{T} = \frac{1}{2}\, ( a + b )\, h \,\,\,}\) ; gdzie: \(\displaystyle{ \,\,\, b = a - ( x + y )}\);
Pole trójkąta: \(\displaystyle{ P_{\Delta} \,\, = \frac{1}{2} \, \frac{2}{3} \, c \cdot d \, = \frac{1}{3} \, c \cdot d \,}\)
Szukany stosunek pól: \(\displaystyle{ \frac{P_{cz}}{P_{\Delta}} = \frac{P_{T} - P_{\Delta}}{P_{\Delta}} = \frac{P_{T}}{P_{\Delta}} - 1}\)
Mamy: \(\displaystyle{ x = c \cdot sin(\alpha) \,\,\,\,}\) ; \(\displaystyle{ \,\,\, h = c \cdot cos(\alpha) \,\,\,}\) ; \(\displaystyle{ a = \frac{2 \, c}{3 \, sin(\alpha)} \,\,\,}\) ; \(\displaystyle{ \,\, h = y \cdot tg(2 \, \alpha) \,\, --> \,\,\, y = \frac{c \cdot cos(\alpha)}{tg(2 \, \alpha)} \,\,\,}\) ; \(\displaystyle{ d = a \cdot cos(\alpha ) = \frac{2 \, c \cdot cos(\alpha)}{3 \, sin(\alpha)}}\);
Dla uproszczenia rachunków obliczam: \(\displaystyle{ \,\, ( x + y ) = c \cdot sin(\alpha) + \frac{c \cdot cos(\alpha)}{tg(2 \, \alpha)}}\);
Sprowadzam do wspólnego mianownika, rozpisuję \(\displaystyle{ \,\, tg(2 \, \alpha) \,\,\,}\); redukcja i po kilku przekształceniach otrzymuję : \(\displaystyle{ \,\, ( x + y ) = \frac{c} {2 \, sin(\alpha)}}\);
\(\displaystyle{ P_{T} = \frac{5 \, c^{2} \cdot cos(\alpha)}{12 \, sin(\alpha)} \,\,\,}\) ; \(\displaystyle{ P_{\Delta} = \frac{2 \, c^{2} \cdot cos(\alpha)}{3 \, sin(\alpha)} \,\,\,}\) ; --> \(\displaystyle{ \,\,\, \frac{P_{cz}}{P_{\Delta}} = \frac{P_{T} - P_{\Delta}}{P_{\Delta}} = \frac{P_{T}}{P_{\Delta}} - 1 = \frac{21}{24}}\)