Udowodnij równość w trójkącie

[moja-matematyka2009]

W trójkącie ABC dane są: \(\displaystyle{ \left| \sphericalangle BAC \right| = \alpha ; | \sphericalangle ABC| = \beta.}\)
Wykaż, że:
\(\displaystyle{ \frac{|BC| + |AC|}{|AB|} = \frac{ cos\frac{ \alpha - \beta}{2} }{cos \frac{ \alpha + \beta}{2} }}\).

[Mortify]

Z twierdzenia sinusów mamy:
\(\displaystyle{ |AC|=2R sin \beta}\)
\(\displaystyle{ |BC|=2R sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ |AB|=2R sin(180^\circ - \alpha - \beta) = 2Rsin(\alpha + \beta)}\), bo \(\displaystyle{ sin(180^\circ - x)=sinx}\)

\(\displaystyle{ \frac{|BC|+|AC|}{|AB|}= \frac{2Rsin \alpha + 2Rsin \beta}{2Rsin(\alpha + \beta)}= \frac{sin\alpha+sin\beta}{sin(\alpha+\beta)}}\)
Ze wzoru na sinus podwojonego kąta mamy:
\(\displaystyle{ sin(\alpha+\beta)=2sin( \frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha+\beta}{2})}\)
Ze wzoru na sumę sinusów:
\(\displaystyle{ sin\alpha+sin\beta=2sin( \frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha-\beta}{2})}\)
Podstawmy to teraz:
\(\displaystyle{ \frac{sin\alpha+sin\beta}{sin(\alpha+\beta)}= \frac{2sin( \frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha-\beta}{2})}{2sin( \frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha+\beta}{2})}= \frac{cos(\frac{\alpha-\beta}{2})}{cos(\frac{\alpha+\beta}{2})}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \frac{|BC|+|AC|}{|AB|}=\frac{cos(\frac{\alpha-\beta}{2})}{cos(\frac{\alpha+\beta}{2})}}\) c.b.d.u

[marcinn12]

\(\displaystyle{ |AB|=2R sin(180^\circ - \alpha - \beta) = 2Rsin(\alpha + \beta)}\), bo \(\displaystyle{ sin(180^\circ - x)=sinx}\)


Chciałbym zrozumieć to zadanie, ale nie kapuje tego prześcia. Skąd \(\displaystyle{ 180^\circ - \alpha - \beta=\alpha + \beta}\) ?

[Mortify]

to nie jest \(\displaystyle{ 180^\circ - \alpha - \beta = \alpha + \beta}\) tylko \(\displaystyle{ sin(180^\circ-\alpha-\beta)=sin(\alpha+\beta)}\) wynika to ze wzorów redykcyjnych, a mianowicie:
\(\displaystyle{ sin(180^\circ-x)=sinx}\)
w naszym przypadku mamy: \(\displaystyle{ x=\alpha+\beta}\) czyli \(\displaystyle{ sin(180^\circ-\alpha-\beta)=sin[180^\circ-(\alpha+\beta)]=sin(\alpha+\beta)}\)