trazpez i twierdzenie cosinusów

witek1 · Post autor: **witek1** » 9 lut 2009, o 13:35

udowodnij,że w trapezie, który ma 2 katy ostre( tez mi informacja) przy jednej z podstaw, suma kwadratów przekątych równa jest sumie podwojonego iloczynu 2 boków równoległych i kwadratów pozostałych boków

w odpowiedziach była podpowiedź,zeby skorzystać 4 razy z twierdzenia cosinusów( no na to akurat od razu wpadłem) , pytanie tylko co potem jak to wykorzystac?

Mortify · Post autor: **Mortify** » 10 lut 2009, o 02:58

a - dłuższa podstawa
b - krótsza podstawa
c,d - ramiona; miedzy c i a jest kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) , a miedzy b i d \(\displaystyle{ \beta}\)
e,f - przekątne
cos(180-x)=-cosx 1*

\(\displaystyle{ \begin{cases} e^2=a^2+c^2-2ac cos\alpha \\ e^2=b^2+d^2-2bdcos(180-\beta) \\ f^2=a^2+d^2 - 2ad cos\beta \\ f^2=b^2+c^2-2bc cos(180-\alpha) \end{cases}}\)
dodajmy stronami i wykorzystajmy zaleznosc 1* :
\(\displaystyle{ 2e^2+2f^2=2a^2+2b^2+2c^2+2d^2-2ac cos\alpha - 2ad cos \beta +2bdcos\beta+2bccos\alpha}\)
\(\displaystyle{ e^2+f^2=a^2+b^2+c^2+d^2-a(c cos\alpha + d cos\beta)+b(c cos\alpha + d cos\beta)}\)
\(\displaystyle{ e^2+f^2=a^2+b^2+c^2+d^2+(b-a)(c cos\alpha + d cos\beta)}\)
\(\displaystyle{ c cos\alpha = u}\)
\(\displaystyle{ d cos\beta = w}\)
zauważmy, że \(\displaystyle{ a=b+u+w \Rightarrow u+w = a-b}\)
czyli:
\(\displaystyle{ e^2+f^2=a^2+b^2+c^2+d^2+(b-a)(a-b)}\)
\(\displaystyle{ e^2+f^2=a^2+b^2+c^2+d^2-(a-b)(a-b)}\)
\(\displaystyle{ e^2+f^2=a^2+b^2+c^2+d^2-a^2-b^2+2ab}\)
\(\displaystyle{ e^2+f^2=c^2+d^2+2ab}\) cbdu

witek1 · Post autor: **witek1** » 10 lut 2009, o 11:43

tylko nie wiem skąd a=b+u+w-- 10 lutego 2009, 11:46 --a nie wiem dobra dzięki
ale jak to na to wpaść......

marcinn12 · Post autor: **marcinn12** » 10 lut 2009, o 12:21

Można też tak:

a - długość dłuższej podstawy
b - długość krótszej podstawy
c, d - ramiona
h - wysokości
x,y - odcinki na które dzieli wysokość opuszczona na podstawę a (dłuższą)
p,q - przekątne

\(\displaystyle{ \begin{cases} (a-x)^{2}+h^{2}=p^{2} \\ (a-y)^{2}+h^{2}=q^{2} \\ x^{2}+h^{2}=c^{2} \\ y^{2}+h^{2}=d^{2} \\ x+y=a-b \end{cases}}\)

dodaje równanie 1,2 i 3,4.

\(\displaystyle{ \begin{cases} (a-x)^{2}+(a-y)^{2}+2h^{2}=p^{2}+q^{2} \\ x^{2}+y^{2} +2h^{2}=c^{2}+d^{2} \\ x+y=a-b \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+y^{2}+2h^{2}+2a^{2}-2a(x+y)=p^{2}+q^{2} \\ x^{2}+y^{2}=c^{2}+d^{2}-2h^{2} \\ x+y=a-b \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ c^{2}+d^{2}-2h^{2} + 2h^{2}+2a^{2}-2a(a-b)=p^{2}+q^{2}}\)
\(\displaystyle{ c^{2}+d^{2}+2ab=p^{2}+q^{2}}\)

Mortify · Post autor: **Mortify** » 10 lut 2009, o 13:32

tak jeszcze dla zrozumienia dorzuce rysunek.. dokladnie widac dlaczego a=b+u+w

pozdrawiam

stifler · Post autor: **stifler** » 10 lut 2009, o 13:39

marcin jak piszesz ze x + y= a - b to oznacza ze a - b jest wartoscia ujemna, bo jest krotsza podstawa czyli sie nie zgadza.

marcinn12 · Post autor: **marcinn12** » 10 lut 2009, o 15:20

Tak masz racje, źle to nazwałem. Jest na odwrót

a - dluga
b- krótka