W równoramienny trójkąt prostokątny o polu powierzchni S=10cm^2 wpisano prostokąty w ten sposób, że jeden z jego boków leży na przeciwprostokątnej, a pozostałe wierzchołki znajdują się na przyprostokątnych. Znajdź ten z prostokątów, który ma najkrótszą przekątną i oblicz jej długość.
Nawet nie wiem, jak to narysować, jeśli każdy z prostokątów ma dotykać przeciwprostokątnej, to co się stanie przy kącie prostym? Powstałyby tam dwa trapezy albo jakiś pięciokąt.
Proszę o pomoc.
prostokąty w trójkącie prostokątnym
-
Ptaq666
- Użytkownik
- Posty: 478
- Rejestracja: 10 wrz 2006, o 13:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Piła / Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 154 razy
prostokąty w trójkącie prostokątnym
Nie zrozumiałeś polecenia chyba . Idea jest taka, że w ten trójkąt równoramienny, prostokątny (de facto połowa kwadratu) wpisujesz prostokąt tak, że podstawa prostokąta leży na przeciwprostokątnej, a dwa z wierzchołków należą do przeciwprostokątnych (w zasadzie inaczej się wpisać nie da). I teraz da się to zrobić na nieskończenie wiele sposobów (w sensie, że stosunek boków prostokąta może być różny). I teraz masz znaleźć taki stosunek boków prostokąta wpisanego w ten trójkąt żeby przekątna prostokąta była jak najkrótsza.
No to najpierw wyznaczasz sobie funkcję przekątnej względem boków (x,y - boki) :
\(\displaystyle{ p = \sqrt{x^{2} + y^{2}}}\)
Teraz żeby łatwo policzyć wartość najmniejszą tej funkcji pozbędziemy się jednej ze zmiennych.
Wiadomo, że \(\displaystyle{ a^{2} = 10}\) gdzie a to bok trójkąta. Niech x będzie dłuższym bokiem prostokąta, wtedy z twierdzenia talesa mamy zależność :
\(\displaystyle{ \frac{\frac{a \sqrt{2}}{2} -y}{x} = \frac{1}{2}}\)
Wyznaczasz z tego równania x lub y, podstawiasz do funkcji na przekątną, liczysz pochodną, szukasz extremum, podstawiasz wartości liczbowe i koniec
No to najpierw wyznaczasz sobie funkcję przekątnej względem boków (x,y - boki) :
\(\displaystyle{ p = \sqrt{x^{2} + y^{2}}}\)
Teraz żeby łatwo policzyć wartość najmniejszą tej funkcji pozbędziemy się jednej ze zmiennych.
Wiadomo, że \(\displaystyle{ a^{2} = 10}\) gdzie a to bok trójkąta. Niech x będzie dłuższym bokiem prostokąta, wtedy z twierdzenia talesa mamy zależność :
\(\displaystyle{ \frac{\frac{a \sqrt{2}}{2} -y}{x} = \frac{1}{2}}\)
Wyznaczasz z tego równania x lub y, podstawiasz do funkcji na przekątną, liczysz pochodną, szukasz extremum, podstawiasz wartości liczbowe i koniec