oblicz długość odcinków

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
ania555
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 255
Rejestracja: 4 lut 2009, o 09:41
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 96 razy

oblicz długość odcinków

Post autor: ania555 »

Podstawy trapezu ABCD mają długość |AB| = 10 cm, |DC| = 6 cm. Punkt K jest środkiem boku AD, a punkt L jest środkiem boku BC. Przekątna AC przecina odcinek KL w punkcie M, a przekątna BD przecina odcinek KL w punkcie N. Oblicz długość odcinków KL, MN, LN.-- 6 lut 2009, o 15:57 --Potrafi to ktoś zrobić???
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

oblicz długość odcinków

Post autor: Sherlock »


Długość odcinka KL, łączącego środki ramion, to średnia arytmetyczna obu podstaw trapezu czyli:
\(\displaystyle{ |KL|= \frac{|DC|+|AB|}{2}=8 cm}\)
(dowód powyższej zależności nie jest trudny, spróbuj to udowodnić )

Zauważ, że trójkąty ABC i MLC są podobne, wiemy, że:
\(\displaystyle{ \frac{|BC|}{|LC|} = 2}\) zatem
\(\displaystyle{ \frac{|AB|}{|ML|}=2}\)
\(\displaystyle{ \frac{10}{|ML|}=2}\)
\(\displaystyle{ |ML|=5cm}\)

Trójkąty BDC i BNL też są podobne, wiemy, że:
\(\displaystyle{ \frac{|BC|}{|BL|}=2}\) więc
\(\displaystyle{ \frac{|CD|}{|LN|}=2}\)
\(\displaystyle{ \frac{6}{|LN|}=2}\)
\(\displaystyle{ |LN|=3 cm}\)

no i nasz szukany
\(\displaystyle{ |MN|=|ML|-|LN|}\)
\(\displaystyle{ |MN|=5-3=2 cm}\)
Ostatnio zmieniony 30 lis 2009, o 19:59 przez Sherlock, łącznie zmieniany 1 raz.
ania555
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 255
Rejestracja: 4 lut 2009, o 09:41
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 96 razy

oblicz długość odcinków

Post autor: ania555 »

Dzieki za rozwiązanie, ale nie wiem, jak udowodnić tam na samym początku, i nie wiem, a mógłbyś wyjaśnić skąd się tam wzieło 2,5 i 3?? Bardzo Cię proszę.
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

oblicz długość odcinków

Post autor: Sherlock »


Dowód zależności: "długość odcinka łączącego środki ramion trapezu jest równa średniej arytmetycznej długości podstaw trapezu" jest dość prosty i opiera się na podobieństwie trójkątów.
Zerknij na obrazek, zauważ, że trójkąty AGD i EID są podobne, jaka jest skala podobieństwa? to wiemy bo wiemy, że:
\(\displaystyle{ \frac{|AD|}{|ED|}=2}\) (punkt E dzieli odcinek AD na połowę), skoro trójkąt AGD jest podobny do trójkąta EID w skali k=2 to wiemy, że odcinek EI jest połową odcinka AG.

Te same rozumowanie przeprowadzamy dla trójkątów po prawej (trójkąt BHC jest podobny do trójkąta FJC w skali k=2).

Policzymy teraz długość odcinka łączącego środki ramion czyli EF:
\(\displaystyle{ |EF|= \frac{x}{2} +a+ \frac{y}{2} = \frac{x+2a+y}{2}}\)
wiemy, że dolna podstawa (oznaczmy ją przez b): \(\displaystyle{ b=x+a+y}\) czyli:
\(\displaystyle{ |EF|=\frac{x+2a+y}{2}=\frac{x+a+a+y}{2}=\frac{a+b}{2}}\)
udowodniliśmy, że długość odcinka łączącego środki ramion trapezu jest równa średniej arytmetycznej długości podstaw trapezu, zapamiętaj to sobie

Jeśli chodzi o wyliczone 2,3 i 5 cm... hmmm... przeanalizuj jeszcze raz zadanie, rozwiązanie oparte jest na podobieństwie trójkątów, kluczem do zadania jest to, że mamy dany odcinek łączący środki ramion trapezu
Ostatnio zmieniony 30 lis 2009, o 20:05 przez Sherlock, łącznie zmieniany 3 razy.
ania555
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 255
Rejestracja: 4 lut 2009, o 09:41
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 96 razy

oblicz długość odcinków

Post autor: ania555 »

Już załapałam wielkie dzieki, punkcik dla Ciebie:)
ODPOWIEDZ